已知二次函數(shù)f(x)=2x2-4(a-1)x-a2+2a+9,
(1)若在區(qū)間[-1,1]內(nèi)至少存在一個實數(shù)m,使得f(m)>0,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若對區(qū)間[-1,1]內(nèi)的一切實數(shù)m都有f(m)>0,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】
分析:(1)根據(jù)函數(shù)f(x)的對稱軸分別表示出f(1),f(-1)和f(a-1),進而根據(jù)在區(qū)間[-1,1]內(nèi)至少存在一個實數(shù)m,使得f(m)>0,推斷函數(shù)f(x)的最大值大于0,進而根據(jù)a<1時和a≥1時的函數(shù)的最大值,求得a的范圍;
(2)依題意可知[f(x)]
min>0,進而看0≤a≤2和a>2時根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求得f(x)的最小值,進而求得a的范圍.
解答:解:∵f(x)的對稱軸x
=a-1,而f(1)=-a
2-2a+15,
f(-1)=-a
2+6a+7,f(a-1)=-3a
2+6a+7;
(1)命題?[f(x)]
max>0,(x∈[-1,1]),
①當x
<0,即a<1時,[f(x)]
max
=f(1)>0⇒a
2+2a-15<0⇒-5<a<3,得-5<a<1;
②當x
≥0,即a≥1時,[f(x)]
max
=f(-1)>0⇒a
2-6a-7<0⇒-1<a<7,得1≤a<7;
綜上,a的取值范圍是(-5,7);
(2)命題?[f(x)]
min>0(x∈[-1,1]),
①當x
<-1,即a<0時,[f(x)]
min
=f(-1)>0⇒-1<a<7,得-1<a<0;
②當-1≤x
≤1,即0≤a≤2時,[f(x)]
min
=f(a-1)>0
,
得0≤a≤2;
③當x
>1,即a>2時,[f(x)]
min=f(1)>0⇒-5<a<3,
得2<a<3;
綜上,a的取值范圍是(-1,3).
點評:本題主要考查了函數(shù)與方程得綜合運用.考查了利用函數(shù)的單調(diào)性解決方程問題.