(2011•普陀區(qū)三模)(理)已知函數(shù)f(x)=
sinπxx∈[0,1]
log2011xx∈(1,+∞)
若滿足f(a)=f(b)=f(c),(a、b、c互不相等),則a+b+c的取值范圍是
(2,2012)
(2,2012)
分析:不妨設(shè)a<b<c,根據(jù)題意在坐標(biāo)系里作出函數(shù)的圖象,將直線y=y0進(jìn)行平行移動(dòng),可得左邊兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線x=
1
2
對稱,故a+b=1,再觀察對數(shù)函數(shù)圖象得c滿足1<c<2011,才能使兩個(gè)圖象有三個(gè)公共點(diǎn),最后綜合以上兩點(diǎn),可得出a+b+c的取值范圍.
解答:解:根據(jù)題意,不妨設(shè)a<b<c,可得
作出函數(shù)的圖象,直線y=y0交函數(shù)圖象于如圖,由正弦曲線的對稱性,
可得A(a,y0)與B(b,y0)關(guān)于直線x=
1
2
對稱,因此a+b=1

當(dāng)直線線y=y0向上平移時(shí),經(jīng)過點(diǎn)(2011,1)時(shí)圖象兩個(gè)圖象恰有兩個(gè)公共點(diǎn)(A、B重合)
所以0<y0<1時(shí),兩個(gè)圖象有三個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)滿足f(a)=f(b)=f(c),(a、b、c互不相等),
說明1<c<2011,因此可得a+b+c∈(2,2012)
故答案為(2,2012)
點(diǎn)評(píng):本題以三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)為例,考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程根個(gè)數(shù)討論等知識(shí)點(diǎn),屬于中檔題.利用數(shù)形結(jié)合,觀察圖象的變化,從而得出變量的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•普陀區(qū)三模)(理)極坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(3,-4),則點(diǎn)A到極點(diǎn)O的距離|OA|=
3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•普陀區(qū)三模)(理)已知函數(shù)f(x)=
ln(2-x2)|x+2|-2

(1)試判斷f(x)的奇偶性并給予證明;
(2)求證:f(x)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減;
(3)右圖給出的是與函數(shù)f(x)相關(guān)的一個(gè)程序框圖,試構(gòu)造一個(gè)公差不為零的等差數(shù)列{an},使得該程序能正常運(yùn)行且輸出的結(jié)果恰好為0.請說明你的理由.

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