Question

已知函數(shù)f(x)=

4x+a

x2+1

．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是否有最值？若有求出最值，若沒有請說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，2]上有最小值為

12

5

，求f（x）在[0，2]上的最大值；
（3）當(dāng)f′(2)=-

12

25

時(shí)，解不等式f(x+

2

x

-4)-

8

5

＞0．

Answer 1

分析：（1）將a=0代入后對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值從而可求出最值．
（2）對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)可得到f′(x)=

4-2ax-4x2

(x2+1)2

，分母（x²+1）²＞0恒成立，令g（x）=4-2ax-4x²則與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可確定f（x）的最小值應(yīng)在端點(diǎn)取得，最大值在x=x₁處取得，然后對兩個(gè)端點(diǎn)進(jìn)行討論即可確定答案．
（3）當(dāng)f′(2)=-

12

25

時(shí)可求出a的值，根據(jù)f(2)=f(

1

2

)=

8

5

，再由函數(shù)的單調(diào)性可解題．

解答：解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f′(x)=

4-4x2

(x2+1)2

，于是有

又f（-1）=-2，f（1）=2，且x＞0時(shí)，f（x）＞0；x＜0時(shí)，f（x）＜0；
所以f（x）在（-∞，+∞）上有最大值是f（1）=2；有最小值是f（-1）=-2．

（2）因?yàn)?span id="orzsknu" class="MathJye">f′(x)=

4-2ax-4x2

(x2+1)2

，而（x²+1）²＞0恒成立，
考察函數(shù)g（x）=4-2ax-4x²與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)設(shè)為（x₁，0）、（x₂，0）且x₁x₂＜0，不妨設(shè)x₁＞0，當(dāng)2＞x₁＞0時(shí)有

所以f（x）在[0，2]上最小值應(yīng)在端點(diǎn)取得，最大值在x=x₁處取得，
當(dāng)f(0)=

12

5

時(shí)，a=

12

5

，此時(shí)f(2)=

52

25

＜

12

5

不合題意；
當(dāng)f(2)=

12

5

時(shí)，a=4，此時(shí)f(0)=4＞

12

5

符合題意，
所以a=4代入g（x）=4-2ax-4x²可解得x1=

2

-1，符合2＞x₁＞0．
從而得到f（x）在[0，2]上的最大值為2

2

+2．
當(dāng)x₁≥2時(shí)，f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，
所以f(0)=

12

5

，a=

12

5

，
代入g（x）=4-2ax-4x²解得x1=

34 -3

5

＜2不合x₁≥2．舍去，
綜上f（x）在[0，2]的最大值為2

2

+2，
（3）當(dāng)f′(2)=-

12

25

時(shí)，a=0，又f(2)=f(

1

2

)=

8

5

，
由（1）知

1

2

＜x+

2

x

-4＜2，
從而解得3-

7

＜x＜

1

2

或4＜x＜3+

7

，
所以當(dāng)f′(2)=-

12

25

時(shí)，不等式f(x+

2

x

-4)-

8

5

解集為{x|3-

7

＜x＜

1

2

或4＜x＜3+

7

}．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、根據(jù)單調(diào)性解不等式等問題．考查學(xué)生的綜合運(yùn)用能力．