(理)如圖,矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD
(1)問BC邊上是否存在Q點(diǎn),使
PQ
QD
,說明理由.
(2)問當(dāng)Q點(diǎn)惟一,且cos<
BP
,
QD
>=
10
10
時,求點(diǎn)P的位置.
分析:(1)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)一xyz,設(shè)P,D,Q的坐標(biāo),求得向量坐標(biāo),利用
PQ
QD
,可方程,利用判別式,即可得到結(jié)論;
(2)當(dāng)Q點(diǎn)惟一時,由5題知,a=2,y=1,利用cos<
BP
,
QD
>=
10
10
,建立方程,即可求點(diǎn)P的位置.
解答:(理)解:(1)如答圖9-6-2所示,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)一xyz,設(shè)P(0,0,z),D(0,a,0),Q(1,y,0),

PQ
=(1,y,-z),
QD
=(-1,a-y,0),且
PQ
QD

PQ
QD
=-1+y(a-y)=0
∴y2-ay+1=0.
∴△=a2-4.
當(dāng)a>2時,△>0,存在兩個符合條件的Q點(diǎn);
當(dāng)a=2時,△=0,存在惟一一個符合條件的Q點(diǎn);
當(dāng)a<2時,△<0,不存在符合條件的Q點(diǎn).
(2)當(dāng)Q點(diǎn)惟一時,由題知,a=2,y=1.
∴B(1,0,0),
BP
=(-1,0,z),
QD
=(-1,1,0).
∴cos<
BP
,
QD
>=
BP
QD
|
BP
||
QD
=
1
1+z2
×
2
=
10
10

∴z=2.即P在距A點(diǎn)2個單位處.
點(diǎn)評:本題考查向量在幾何中的運(yùn)用,解題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)(理)如圖,矩形ABCD,|AB|=1,|BC|=a,PA⊥面ABCD且|PA|=1
(1)BC邊上是否存在點(diǎn)Q,使得FQ⊥QD,并說明理由;
(2)若BC邊上存在唯一的點(diǎn)Q使得FQ⊥QD,指出點(diǎn)Q的位置,并求出此時AD與平面PDQ所成的角的正弦值;
(3)在(2)的條件下,求二面角Q-PD-A的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(08年惠州一中模擬理)如圖,矩形ABCD中,AB=,BC=,橢圓M的中心和準(zhǔn)線分別是已知矩形的中心和一組對邊所在直線,矩形的另一組對邊間的距離為橢圓的短軸長,橢圓M的離心率大于0.7.

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(II)過橢圓M的中心作直線l與橢圓交于兩點(diǎn),設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為,當(dāng)時,求的面積.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

(理)如圖,矩形ABCD,|AB|=1,|BC|=a,PA⊥面ABCD且|PA|=1
(1)BC邊上是否存在點(diǎn)Q,使得FQ⊥QD,并說明理由;
(2)若BC邊上存在唯一的點(diǎn)Q使得FQ⊥QD,指出點(diǎn)Q的位置,并求出此時AD與平面PDQ所成的角的正弦值;
(3)在(2)的條件下,求二面角Q-PD-A的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年高三一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)單元驗(yàn)收試卷(向量)(解析版) 題型:解答題

(理)如圖,矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD
(1)問BC邊上是否存在Q點(diǎn),使,說明理由.
(2)問當(dāng)Q點(diǎn)惟一,且cos<>=時,求點(diǎn)P的位置.

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