Question

已知橢圓的中心是坐標原點O，它的短軸長為2

2

，一個焦點F的坐標為（c，0）（c＞0），一個定點A的坐標為(

10

c

-c，0)，且

OF

=2

FA，

過點A的直線與橢圓相交于P，Q兩點：
（1）求橢圓的方程和離心率；
（2）如果OP⊥OQ，求直線PQ的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意求出b，根據(jù)F，A的坐標得到

OF

，

FA

的坐標，由

OF

=2

FA，

求得c的值，結(jié)合隱含條件求得a的值，則橢圓方程可求，進一步求得離心率；
（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用根與系數(shù)關(guān)系求得P，Q的橫縱坐標的積，由OP⊥OQ得其對應(yīng)向量的數(shù)量積為0，代入后求得k的值，則直線PQ的方程可求．

解答： 解：（1）由題意知，b=

2

，F(xiàn)（c，0），A(

10

c

-c，0)，

OF

=(c，0)，

FA

=(

10

c

-2c，0)，
由

OF

=2

FA，

得c=

20

c

-4c，解得：c=2．
∴a²=b²+c²=6，
∴橢圓的方程為

x2

6

+

y2

2

=1，
離心率為

2

6

=

6

3

；
（2）A（3，0），
設(shè)直線PQ的方程為y=k（x-3），
聯(lián)立

y=k(x-3) x2 6 + y2 2 =1

，得（1+3k²）x²-18k²x+27k²-6=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則x1+x2=

18k2

1+3k2

，x1x2=

27k2-6

1+3k2

，
y1y2=k2[x1x2-3(x1+x2)+9]=k2[

27k2-6

1+3k2

-

54k2

1+3k2

+9]=

3k2

1+3k2

由OP⊥OQ，得x₁x₂+y₁y₂=0，
即

27k2-6

1+3k2

+

3k2

1+3k2

=

30k2-6

1+3k2

=0，
解得：k=±

5

5

，符合△＞0，
∴直線PQ的方程為y=±

5

5

(x-3)．

點評：本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，涉及直線與圓錐曲線關(guān)系問題，常采用聯(lián)立直線與圓錐曲線，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系求解，是中檔題．