Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）= （其中a∈R）
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）設(shè)函數(shù)h（x）=f′（x）+g（x）﹣1，試確定h（x）的單調(diào)區(qū)間及最值；
（3）求證：對于任意的正整數(shù)n，均有 ＞ 成立．（注：e為自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

【答案】
（1）解： f（x）=xlnx，（x＞0），f′（x）=1+lnx，

令f′（x）＞0，解得：x＞ ，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜ ，

∴f（x）在（0， ）遞減，在（ ，+∞）遞增，

∴f（x）的極小值是f（ ）=﹣ ；

（2）解：h（x）=f′（x）+g（x）﹣1=lnx+ ，（x＞0），

h′（x）= ﹣ = ，

①a≤0時，h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）遞增，無最值，

②a＞0時，令h′（x）＞0，解得：x＞a，令h′（x）＜0，解得：0＜x＜a，

∴h（x）在（0，a）遞減，在（a，+∞）遞增，

∴h（x）min=h（a）=1+lna，

（3）證明：取a=1，由（Ⅱ）知，h（x）=lnx+ ≥f（1）=1，

∴ ≥1﹣lnx=ln ，亦即 ≥ ，

分別取 x=1，2，…，n得 ≥ ，

≥ ， ≥ ，…， ≥ ，

將以上各式相乘，得： ＞ 成立．

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（2）求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（3）令a=1，得到 ≥1﹣lnx=ln ，亦即 ≥ ，分別取 x=1，2，…，n，相乘即可．
【考點精析】利用基本求導(dǎo)法則和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知若兩個函數(shù)可導(dǎo)，則它們和、差、積、商必可導(dǎo)；若兩個函數(shù)均不可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo)；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．