【題目】在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程與直線的普通方程；

（2）直線與曲線交于兩點(diǎn)，記弦的中點(diǎn)為，點(diǎn)，求.

【答案】（1）曲線C的直角坐標(biāo)方程為，直線的普通方程為；（2）

【解析】

(1)由直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化，可直接寫(xiě)出曲線的直角坐標(biāo)方程；由直線的參數(shù)方程消去參數(shù)，即可得到直線的普通方程；

(2)將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，得到關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理，以及弦長(zhǎng)公式即可求解.

（1）由，，

從而有，即

直線的普通方程為

（2）易知點(diǎn)在直線上，

則直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

將其代入曲線的直角坐標(biāo)方程可得，所以

所以

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【題目】設(shè)函數(shù) ①若，則的零點(diǎn)有_____個(gè)；②若的值域?yàn)?/span>，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．

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【題目】如圖,已知拋物線C頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在Y軸的非負(fù)半軸上，點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn).

（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程

（2）若點(diǎn)P,Q在拋物線C上,且拋物線C在點(diǎn)P,Q處的切線交于點(diǎn)S,記直線 MP,MQ的斜率分別為k1，k2,且滿足,當(dāng)P,Q在C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△PQS的面積是否為定值？若是，求出△PQS的面積；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】根據(jù)統(tǒng)計(jì)，某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量（百千克）與某種液體肥料每畝使用量（千克）之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，如圖所示.

（1）依據(jù)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)計(jì)算相關(guān)系數(shù)并加以說(shuō)明（若，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）；

（2）求關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測(cè)液體肥料每畝使用量為千克時(shí)，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為多少？

附：相關(guān)系數(shù)公式，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，.

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【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，離心率為，且．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，若，試判斷是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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【題目】如圖，矩形為一張臺(tái)球桌面，，.從點(diǎn)擊出一個(gè)球，其可無(wú)限次經(jīng)臺(tái)球桌四邊反彈運(yùn)行.已知該球經(jīng)過(guò)矩形的中心.

（1）試求所有整點(diǎn) 的個(gè)數(shù)，使得該球可以經(jīng)過(guò)點(diǎn)；

（2）若該球在上述、兩點(diǎn)間的最短路徑長(zhǎng)為，求的最大值.

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【題目】已知.在單位圓上有兩個(gè)定點(diǎn)、，，是上一動(dòng)點(diǎn)，在直線上存在一點(diǎn)，滿足（為邊的中點(diǎn)）.試求的最大值.

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【題目】每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠狀況是保持身體健康的重要基礎(chǔ).為了做好今年的世界睡眠日宣傳工作，某社區(qū)從本轄區(qū)內(nèi)同一年齡層次的人員中抽取了100人，通過(guò)問(wèn)詢的方式得到他們?cè)谝恢軆?nèi)的睡眠時(shí)間(單位：小時(shí))，并繪制出如右的頻率分布直方圖：

(Ⅰ)求這100人睡眠時(shí)間的平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，結(jié)果精確到個(gè)位)；

(Ⅱ)由直方圖可以認(rèn)為，人的睡眠時(shí)間近似服從正態(tài)分布，其中近似地等于樣本平均數(shù)，近似地等于樣本方差，.假設(shè)該轄區(qū)內(nèi)這一年齡層次共有10000人，試估計(jì)該人群中一周睡眠時(shí)間位于區(qū)間(39.2，50.8)的人數(shù).

附：.若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，.

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（1）求證：直線平面；

（2）求與平面所成角的正弦值.

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