已知點(diǎn)列B1(1,y1),B2(2,y2),…,Bn(n,yn),…(n∈N*)順次為直線y=
x4
上的點(diǎn),點(diǎn)列A1(x1,0),A2(x2,0),…,An(xn,0),…(n∈N*)順次為x軸上的點(diǎn),其中x1=a(0<a<1),對(duì)任意的n∈N*,點(diǎn)An、Bn、An+1構(gòu)成以Bn為頂點(diǎn)的等腰三角形.
(Ⅰ)求證:對(duì)任意的n∈N*,xn+2-xn是常數(shù),并求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)問(wèn)是否存在等腰直角三角形AnBnAn+1?請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(Ⅰ)由點(diǎn)An、Bn、An+1構(gòu)成以Bn為頂點(diǎn)的等腰三角形,則有|AnBn|=|An+1Bn|得到xn+1+xn=2n,從而有xn+2+xn+1=2(n+1)兩式作差求解.
(Ⅱ)假設(shè)存在等腰直角三角形AnBnAn+1,.在Rt△AnBnAn+1中,|AnAn+1|=|xn+1-xn|=2×
n
4
=
n
2
.由n為正奇數(shù)時(shí),|xn+1-xn|=2(1-a),故有2(1-a)=2×
n
4
,即1-a=
n
4
即0<n<4.n=1,3使得三角形AnBnAn+1為等腰直角三角形.當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí),|xn+1-xn|有2a=2×
n
4
,即a=
n
4
,當(dāng)n=2時(shí),使得三角形AnBnAn+1為等腰直角三角形.
解答:解:(Ⅰ)由題意得Bn(n,
n
4
)
,An(xn,0),An+1(xn+1,0),
∵點(diǎn)An、Bn、An+1構(gòu)成以Bn為頂點(diǎn)的等腰三角形,
∴|AnBn|=|An+1Bn|,即
(xn-n)2+(
n
4
)
2
=
(xn+1-n)2+(
n
4
)
2

得xn2-2nxn=xn+12-2nxn+1?(xn+1-xn)(xn+1+xn)=2n(xn+1-xn
又∵xn+1≠xn,∴xn+1+xn=2n,①
則xn+2+xn+1=2(n+1)②
由②-①得,xn+2-xn=2,即xn+2-xn是常數(shù).(6分)
即所列{x2k-1},{x2k}(k∈N*)都是等差數(shù)列.
(注:可以直接由圖象得到
xn+xn+1
2
=n
,即xn+xn+1=2n,(n∈N*))
當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),xn=x1+(
n+1
2
-1)×2=a+n-1
,
當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí),由x2+x1=2得,x2=2-a,故xn=x2+(
n
2
-1)×2=n-a

xn=
a+n-1,(n為正奇數(shù))
n-a,(n為正偶數(shù))
.(8分)
(Ⅱ)假設(shè)存在等腰直角三角形AnBnAn+1,由題意∠AnBnAn+1=90°.
在Rt△AnBnAn+1中,|AnAn+1|=|xn+1-xn|=2×
n
4
=
n
2
.(10分)
當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),xn=a+n-1,xn+1=n+1-a,
∴|xn+1-xn|=|n+1-a-a-n+1|=|2-2a|=2(1-a),故有2(1-a)=2×
n
4
,即1-a=
n
4
,
又∵0<a<1,∴0<1-a<1,∴0<
n
4
<1
,即0<n<4,
∴當(dāng)n=1,3時(shí),使得三角形AnBnAn+1為等腰直角三角形.(12分)
當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí),xn=n-a,xn+1=a+n+1-1=a+n,
∴|xn+1-xn|=|a+n-n+a|=|2a|=2a,故有2a=2×
n
4
,即a=
n
4
,
又∵0<a<1,∴0<
n
4
<1
,即0<n<4,
∴當(dāng)n=2時(shí),使得三角形AnBnAn+1為等腰直角三角形.(14分)
綜上所述,當(dāng)n=1,2,3時(shí),使得三角形AnBnAn+1為等腰直角三角形.(16分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查解析幾何與數(shù)列的綜合問(wèn)題,涉及到求數(shù)列的通項(xiàng)公式,兩點(diǎn)間的距離公式以及分類(lèi)討論,數(shù)形結(jié)合等思想.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知點(diǎn)列B1(1,y1)、B2(2,y2)、…、Bn(n,yn)(n∈N)順次為一次函數(shù)y=
1
4
x+
1
12
圖象上的點(diǎn),點(diǎn)列A1(x1,0)、A2(x2,0)、…、An(xn,0)(n∈N)順次為x軸正半軸上的點(diǎn),其中x1=a(0<a<1),對(duì)于任意n∈N,點(diǎn)An、Bn、An+1構(gòu)成以
Bn為頂點(diǎn)的等腰三角形.
(1)求{yn}的通項(xiàng)公式,且證明{yn}是等差數(shù)列;
(2)試判斷xn+2-xn是否為同一常數(shù)(不必證明),并求出數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式;
(3)在上述等腰三角形AnBnAn+1中,是否存在直角三角形?若有,求出此時(shí)a值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2009•上海模擬)已知點(diǎn)列B1(1,y1),B2(2,y2),…,Bn(n,yn),…(n∈N*)順次為直線y=
x4
上的點(diǎn),點(diǎn)列A1(x1,0),A2(x2,0),…,An(xn,0),…(n∈N*)順次為x軸上的點(diǎn),其中x1=a(0<a<1),對(duì)任意的n∈N*,點(diǎn)An、Bn、An+1構(gòu)成以Bn為頂點(diǎn)的等腰三角形.
(1)證明:數(shù)列{yn}是等差數(shù)列;
(2)求證:對(duì)任意的n∈N*,xn+2-xn是常數(shù),并求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式;
(3)對(duì)上述等腰三角形AnBnAn+1添加適當(dāng)條件,提出一個(gè)問(wèn)題,并做出解答.(根據(jù)所提問(wèn)題及解答的完整程度,分檔次給分)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知點(diǎn)列B1(1,y1)、B2(2,y2)、…、Bn(n,yn)(n∈N)順次為一次函數(shù)y=
1
4
x+
1
12
圖象上的點(diǎn),點(diǎn)列A1(x1,0)、A2(x2,0)、…、An(xn,0)(n∈N)順次為x軸正半軸上的點(diǎn),其中x1=a(0<a<1),對(duì)于任意n∈N,點(diǎn)An、Bn、An+1構(gòu)成一個(gè)頂角的頂點(diǎn)為Bn的等腰三角形.
(1)求數(shù)列{yn}2的通項(xiàng)公式,并證明{yn}3是等差數(shù)列;
(2)證明xn+2-xn5為常數(shù),并求出數(shù)列{xn}6的通項(xiàng)公式;
(3)問(wèn)上述等腰三角形An8Bn9An+110中,是否存在直角三角形?若有,求出此時(shí)a值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•藍(lán)山縣模擬)已知點(diǎn)列B1(1,b1),B2(2,b2),…,Bn(n,bn),…(n∈N?)順次為拋物線y=
1
4
x2上的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)Bn(n,bn)作拋物線y=
1
4
x2的切線交x軸于點(diǎn)An(an,0),點(diǎn)Cn(cn,0)在x軸上,且點(diǎn)An,Bn,Cn構(gòu)成以點(diǎn)Bn為頂點(diǎn)的等腰三角形.
(1)求數(shù)列{an},{cn}的通項(xiàng)公式;
(2)是否存在n使等腰三角形AnBnCn為直角三角形,若有,請(qǐng)求出n;若沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)設(shè)數(shù)列{
1
an•(
3
2
+cn)
}的前n項(xiàng)和為Sn,求證:
2
3
≤Sn
4
3

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案