【題目】設函數(shù).

(1)當時,函數(shù),處的切線互相垂直,求的值;

(2)當函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)時,求證:;

(3)是否存在實數(shù),使得對任意,都有函數(shù)的圖象在的圖象的下方?若存在,請求出最大整數(shù)的值;若不存在,請說理由.(參考數(shù)據(jù):,

【答案】(1);(2)見解析;(3)1

【解析】分析:(1)求導得切線斜率為,由垂直得斜率積為-1,從而得解;

(2),求導得,令,要使函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào),只需要有非重根,利用二次方程根的分別即可得解;

(3)恒成立,令,,令,存在,使得,即,則取到最小值, 所以,即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,從而得解.

詳解:(1)當時,,則處的斜率為,

處的斜率為,則,解得 .

(2)函數(shù)

.

,∴,令,

要使函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào),只需要有非重根,

由于開口向上,且

只需要,得,

因為,所以,

,當且僅當時取等號,命題得證 .

(3)假設存在實數(shù)滿足題意,則不等式恒成立,

恒成立 .

,則

,則,

因為上單調(diào)遞增,,,且的圖象在上不間斷,

所以存在,使得,即,則,

所以當時,單調(diào)遞減;當時,單調(diào)遞增.

取到最小值,

所以,即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,

所以

所以存在實數(shù)滿足題意,且最大整數(shù)的值為1 .

練習冊系列答案
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