Question

（理）已知圓M：（x+

5

）²+y²=36，定點N（

5

，0），點P為圓M上的動點，點G在MP上，且滿足|GP|=|GN|
（1）求點G的軌跡C的方程；
（2）過點（2，0）作直線l，與曲線C交于A、B兩點，O是坐標原點，設(shè)

OS

=

OA

+

OB

，是否存在這樣的直線l，使四邊形OASB的對角線相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直線l的方程；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）由|PG|=|GN|，知|GN|+|GM|=|MP|=6，由橢圓定義可知，點G的軌跡是以M、N為焦點的橢圓，由此能求出點G的軌跡C的方程．
（2）因為

OS

=

OA

+

OB

，所以四邊形OASB為平行四邊形，假設(shè)存在l使得|

OS

|=|

AB

|，則四邊形OASB為矩形，故

OA

•

OB

=0．由此能夠推出導(dǎo)出存在直線l的方程為3x-2y-6=0，或3x+2y-6=0，使四邊形OASB的對角線相等．

解答：解：（1）∵|PG|=|GN|，∴|GN|+|GM|=|MP|=6，
又∵|MN|=2

5

，∴|GN|+|GM|＞|MN|，
由橢圓定義可知，點G的軌跡是以M、N為焦點的橢圓，
設(shè)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)，
則2a=6，2c=2

5

，∴a=3，c=

5

，b=

9-5

=2，
∴點G的軌跡方程是

x2

9

+

y2

4

=1．…（5分）
（2）因為

OS

=

OA

+

OB

，所以四邊形OASB為平行四邊形，
假設(shè)存在l使得|

OS

|=|

AB

|，則四邊形OASB為矩形，
∴

OA

•

OB

=0．
①當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=2，
由

x=2 x2 9 + y2 4 =1

，得

x=2 y=± 2 5 3

，
此時

OA

•

OB

=

16

9

＞0，或

OA

•

OB

=0矛盾，不合題意，舍去．
②當直線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為y=k（x-2），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=k(x-2) x2 9 + y2 4 =1

，得（9k²+4）x²-36k²x+36（k²-1）=0，
△=（-36k²）²-144（9k²+4）（k²-1）=720k²+576＞0．（※）
∴x1+x2=

36k2

9k2+4

，x1x2 =

36(k2-1)

9k2+4

，①
y₁y₂=[k（x₁-2）][k（x₂-2）]
=k²[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]
=-

20k2

9k2+4

，②
把①②代入x₁x₂+y₁y₂=0，
解得k=±

3

2

，代入（※）式，驗證成立．
∴直線l的方程為y=±

3

2

（x-2），即3x-2y-6=0，或3x+2y-6=0，
故存在直線l的方程為3x-2y-6=0，或3x+2y-6=0，使四邊形OASB的對角線相等．

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查直線方程的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想的合理運用．