【題目】已知函數(shù).

(I)當(dāng)a=-1時(shí)，

①求曲線y= f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程；

②求函數(shù)f(x)的最小值；

(II)求證:當(dāng)時(shí)，曲線與有且只有一個(gè)交點(diǎn).

【答案】（1）切線方程；；（2）證明見解析

【解析】

(I)函數(shù)求導(dǎo)，求出得切線方程；解求單增區(qū)間，解求單減區(qū)間；利用單調(diào)性求最值；

(II)構(gòu)造得到函數(shù)調(diào)調(diào)性，由零點(diǎn)存在性定理證有且只有一個(gè)零點(diǎn).

(I)當(dāng)時(shí)，

①函數(shù)，，

，即，

曲線在點(diǎn)處的切線方程為.

②令，得，令，得，

所以在上單增，在單減,

函數(shù)的最小值為.

(II) 當(dāng)時(shí)，曲線與有且只有一個(gè)交點(diǎn).

等價(jià)于有且只有一個(gè)零點(diǎn).

，

當(dāng)時(shí)，，

，則，

當(dāng)時(shí)，，

，則，

在上單增，

又，

，

由零點(diǎn)存在性定理得有唯一零點(diǎn)，即曲線與有且只有一個(gè)交點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,，其焦距為，點(diǎn)E為橢圓的上頂點(diǎn)，且．

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)圓的切線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求證；

（3）在（2）的條件下，求的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】春節(jié)期間爆發(fā)的新型冠狀病毒（COVID-19）是新中國成立以來感染人數(shù)最多的一次疫情.一個(gè)不知道自己已感染但處于潛伏期的甲從疫區(qū)回到某市過春節(jié)，回到家鄉(xiāng)后與朋友乙、丙、丁相聚過，最終乙、丙、丁也感染了新冠病毒.可以肯定的是乙受甲感染的，丙是受甲或乙感染的，假設(shè)他受甲和受乙感染的概率分別是和.丁是受甲、乙或丙感染的，假設(shè)他受甲、乙和丙感染的概率分別是、和.在這種假設(shè)之下，乙、丙、丁中直接受甲感染的人數(shù)為.

（1）求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）該市在發(fā)現(xiàn)在本地出現(xiàn)新冠病毒感染者后，迅速采取應(yīng)急措施，其中一項(xiàng)措施是各區(qū)必須每天及時(shí)，上報(bào)新增疑似病例人數(shù).區(qū)上報(bào)的連續(xù)天新增疑似病例數(shù)據(jù)是“總體均值為，中位數(shù)”，區(qū)上報(bào)的連續(xù)天新增疑似病例數(shù)據(jù)是“總體均值為，總體方差為”.設(shè)區(qū)和區(qū)連續(xù)天上報(bào)新增疑似病例人數(shù)分別為和，和分別表示區(qū)和區(qū)第天上報(bào)新增疑似病例人數(shù)（和均為非負(fù)）.記，.

①試比較和的大��；

②求和中較小的那個(gè)字母所對(duì)應(yīng)的個(gè)數(shù)有多少組？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中．

（I）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若R上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，M1分別為AB，A1B1中點(diǎn).

（1）求證：C1M1∥面A1MC；

（2）若面ABC⊥面ABB1A1，△AB1B為正三角形，AB＝2，BC＝1，，求四棱錐B1﹣AA1C1C的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）若函數(shù)在，上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若函數(shù)在處的切線平行于軸，是否存在整數(shù)，使不等式在時(shí)恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房.蜂房的結(jié)構(gòu)如圖所示，開口為正六邊形ABCDEF，側(cè)棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且與平面ABCDEF垂直，蜂房底部由三個(gè)全等的菱形構(gòu)成.瑞士數(shù)學(xué)家克尼格利用微積分的方法證明了蜂房的這種結(jié)構(gòu)是在相同容積下所用材料最省的，因此，有人說蜜蜂比人類更明白如何用數(shù)學(xué)方法設(shè)計(jì)自己的家園.英國數(shù)學(xué)家麥克勞林通過計(jì)算得到∠B′C′D′＝109°28′16'.已知一個(gè)房中BB'＝5，AB＝2，tan54°44′08'，則此蜂房的表面積是_____.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x），若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）

A.[3，+∞）B.（3，+∞）C.（﹣∞，3）D.（﹣∞，3]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在抗擊新冠肺炎疫情期間，很多人積極參與了疫情防控的志愿者活動(dòng).各社區(qū)志愿者服務(wù)類型有：現(xiàn)場(chǎng)值班值守，社區(qū)消毒，遠(yuǎn)程教育宣傳，心理咨詢（每個(gè)志愿者僅參與一類服務(wù)）.參與A，B，C三個(gè)社區(qū)的志愿者服務(wù)情況如下表：

社區(qū)

社區(qū)服務(wù)總?cè)藬?shù)

服務(wù)類型

現(xiàn)場(chǎng)值班值守

社區(qū)消毒

遠(yuǎn)程教育宣傳

心理咨詢

A

100

30

30

20

20

B

120

40

35

20

25

C

150

50

40

30

30

（1）從上表三個(gè)社區(qū)的志愿者中任取1人，求此人來自于A社區(qū)，并且參與社區(qū)消毒工作的概率；

（2）從上表三個(gè)社區(qū)的志愿者中各任取1人調(diào)查情況，以X表示負(fù)責(zé)現(xiàn)場(chǎng)值班值守的人數(shù)，求X的分布列；

（3）已知A社區(qū)心理咨詢滿意率為0.85，B社區(qū)心理咨詢滿意率為0.95，C社區(qū)心理咨詢滿意率為0.9，“，，”分別表示A，B，C社區(qū)的人們對(duì)心理咨詢滿意，“，，”分別表示A，B，C社區(qū)的人們對(duì)心理咨詢不滿意，寫出方差，，的大小關(guān)系.（只需寫出結(jié)論）

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