Question

已知函數f（x）=ax²-bx+c（a＞0，b、c∈R），曲線y=f（x）經過點P（0，2a²+8），且在點Q（-1，f（-1））處的切線垂直于y軸，設g（x）=（f（x）-16）•e^-x．
（1）用a分別表示b和c；（2）當

c

b

取得最小值時，求函數g（x）的單調遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）將P的坐標代入函數f（x）得到a，c的關系，求出導函數在x=-1處的值即切線的斜率，令其為0得到a，b的關系．
（2）將（1）中的關系代入

c

b

得到關于a的函數，利用基本不等式求出最小值，求出等號成立時a的值，代入g（x）；求出g（x）的導數，令導數大于0求出x范圍即為函數的定義域．

解答：解：（1）∵經過點P（0，2a²+8），
∴c=2a²+8；
由切線垂直于y軸可知f′（-1）=0，從而有-2a+b=0，
∴b=2a
（2）因為a＞0從而

c

b

=

2a2+8

2a

=a+

4

a

≥2

a• 4 a

=4，
當且僅當a=

4

a

，即a=2時取得等號．
∴f（x）=2x²+4x+16；g（x）=（2x²+4x）e^-x
∴g′（x）=e^-x（4-2x²）
因為e^-x＞0
∴g′（x）＞0時g（x）為單調遞增函數，即(-

2

，

2

)為單調遞增區(qū)間

點評：利用基本不等式求函數的最值時，一定注意基本不等式使用的條件：一正、二定、三相等；導數在切點處的導數值為切線的斜率．