如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，C1C⊥底面ABC，AC＝BC＝CC1＝2，AC⊥BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).

（1）求證：AC1∥平面CDB1；
（2）求四面體B1C1CD的體積.

（1）證明過程詳見試題解析；（2）三棱錐D－B1C1C的體積為.

解析試題分析：（1）連接BC1，設(shè)BC1與B1C的交點(diǎn)為E，連接DE，證得DE∥AC1；由線面平行的判定定理即可證明AC1∥平面CDB1；（2）在平面ABC內(nèi)作DF⊥BC于點(diǎn)F，可以證明DF是三棱錐D－CC1B1的高，再由錐體體積公式即可求解.
試題解析：
（1）證明：連結(jié)BC1，設(shè)BC1與B1C的交點(diǎn)為E，連結(jié)DE.

∵三棱柱ABC－A1B1C1，CC1⊥底面ABC，CC1＝BC＝2，
∴四邊形BCC1B1為正方形.   ∴E為BC1中點(diǎn).
∵D是AB的中點(diǎn)，  ∴DE∥AC1.
∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1.              4分
（2）在平面ABC內(nèi)作DF⊥BC于點(diǎn)F，
∵CC1⊥平面ACB , DF平面ACB，
∴CC1⊥DF.
∵BCCC1＝C
∴DF⊥平面BCC1B1.
∴DF是三棱錐D－CC1B1的高，
∵AC＝BC＝CC1＝2
∴  DF＝1.
∴四面體B1C1CD的體積為.                     9分
考點(diǎn)：線面平行的判定定理、空間幾何體的體積.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝1，D為線段BC的中點(diǎn)，E、F為線段AC的三等分點(diǎn)(如圖①)．將△ABD沿著AD折起到△AB′D的位置，連結(jié)B′C(如圖②)．

圖①

圖②
(1)若平面AB′D⊥平面ADC，求三棱錐B′-ADC的體積；
(2)記線段B′C的中點(diǎn)為H，平面B′ED與平面HFD的交線為l，求證：HF∥l；
(3)求證：AD⊥B′E.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，AA1，BB1為圓柱OO1的母線，BC是底面圓O的直徑，D，E分別是AA1，CB1的中點(diǎn)，DE⊥面CBB1.

(1)證明：DE∥面ABC；
(2)求四棱錐C­ABB1A1與圓柱OO1的體積比．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱錐S ­ABC中，平面EFGH分別與BC，CA，AS，SB交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，且SA⊥平面EFGH，SA⊥AB，EF⊥FG.

求證：(1)AB∥平面EFGH；
(2)GH∥EF；
(3)GH⊥平面SAC.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知四棱錐P­ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分別為棱BC，AD的中點(diǎn)．
 
(1)求證：DE∥平面PFB；
(2)已知二面角P­BF­C的余弦值為，求四棱錐P­ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在幾何體ABCDE中，∠BAC=，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC， AB=AC=BE=2，CD=1。

（1）設(shè)平面ABE與平面ACD的交線為直線，求證：∥平面BCDE；
（2）設(shè)F是BC的中點(diǎn)，求證：平面AFD⊥平面AFE；
（3）求幾何體ABCDE的體積。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱柱中，四邊形為菱形，，四邊形為矩形，若，，.

（1）求證：平面；
（2）求證：面；
（3）求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC。

（１）證明：平面PAB⊥平面PBC；
（２）若，，PB與底面ABC成60°角，分別是與的中點(diǎn)，是線段上任意一動點(diǎn)（可與端點(diǎn)重合），求多面體的體積。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

有一個倒圓錐形容器，它的軸截面是一個正三角形，在容器內(nèi)放一個半徑為r的鐵球，并注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，求這時容器中水的深度．

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同步練習(xí)冊答案