一艘太空飛船飛往地球,第一次觀測時,如圖1發(fā)現(xiàn)一個正三角形的島嶼(邊長為
3
);第二次觀測時,如圖2發(fā)現(xiàn)它每邊中央
1
3
處還有一正三角形海岬,形成了六角的星形;第三次觀測時,如圖3發(fā)現(xiàn)原先每一小邊的中央
1
3
處又有一向外突出的正三角形海岬,把這個過程無限地繼續(xù)下去,就得到著名的數(shù)學模型--柯克島.把第1,2,3,…,n次觀測到的島的海岸線長記為a1,a2,a3,…,an,試求a1,a2,a3的值及an的表達式.
分析:因為第一個圖形的邊長為
3
,從第二個圖形起,每一個圖形的邊長均為上一個圖形邊長的
1
3
,利用等比數(shù)列的通項公式即可得出第n個圖形的邊長;因為第一個圖形的邊數(shù)為3,從第二個圖形起,每一個圖形的邊數(shù)均為上一個圖形邊數(shù)的4倍,利用等比數(shù)列的通項公式即可得出.
解答:解:由題意知,a1=3
3
,  a2=3
3
×
4
3
=4
3
,  a3=3
3
×(
4
3
)2=
16
3
3

因為第一個圖形的邊長為
3
,從第二個圖形起,每一個圖形的邊長均為上一個圖形邊長的
1
3
,所以第n個圖形的邊長為
3
•(
1
3
)n-1
;                        
因為第一個圖形的邊數(shù)為3,從第二個圖形起,每一個圖形的邊數(shù)均為上一個圖形邊數(shù)的4倍,所以第n個圖形的邊數(shù)為3×4n-1
因此,an=3
3
•(
4
3
)n-1
點評:正確找出規(guī)律和熟練掌握等比數(shù)列的通項公式是解題的關鍵.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

一艘太空飛船飛往地球,第一次觀測時,如圖1發(fā)現(xiàn)一個正三角形的島嶼(邊長為
3
);第二次觀測時,如圖2發(fā)現(xiàn)它每邊中央
1
3
處還有一正三角形海岬,形成了六角的星形;第三次觀測時,如圖3發(fā)現(xiàn)原先每一小邊的中央
1
3
處又有一向外突出的正三角形海岬,把這個過程無限地繼續(xù)下去,就得到著名的數(shù)學模型--柯克島.
(1)把第1,2,3,…,n次觀測到的島的海岸線長記為a1,a2,a3,…,an,試求a1,a2,a3的值及an的表達式(n∈N*);
(2)把第1,2,3,…,n,…次觀測到的島的面積記為b1,b2,b3,…,bn,…,求bn(n∈N*)

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