解答:解:(Ⅰ)證明:分別取AB,A′B′的中點D,D′,連CD,PD′,
∵O為△ABC的中心,G為△PA′B′的重心,
∴O∈CD,G∈PD′,且CO:OD=PG:GD′=2:1.
∵AA′B′B為□,AD=DB,A′D′=D′B′,∴DD′∥AA′,
又∵AA′∥CC′,∴DD′∥CC′,即DD′∥CP.
又CO:OD=PG:GD′=2:1,∴OG∥DD′,
∵OG∉平面AA′B′B,DD′?平面AA′B′B.
∴OG∥平面AA′B′B.
(Ⅱ)證明當(dāng)λ=
時,不妨設(shè)AA′=2
,AC=2,由點A′在平面ABC上的射影為△ABC的中心,連AO并延長交BC于點E,則E為BC的中點,取B′C′的中點E′,連EE′,AA′∥EE′∥CC′.
∵A′O⊥平面ABC,∴A′O⊥BC.∵O為△ABC中心,∴AE⊥BC.∴BC⊥平面AA′E′E.設(shè)PB′∩EE′=Q,∴BC⊥A′Q,且E′Q=
CP=
AA′=
.∵AO=
AC?
=
.AA′=2
,∴cos∠A′AO=
=
,∴cos∠A′E′E=
.在△A′E′Q中,A′E′=
,E′Q=
,
cos∠A′E′E=
,∴A′Q
2=A′E′
2+E′Q
2-2A′E′?E′Q?cos∠A′E′E=
.∵A′Q
2+E′Q
2=A′E′
2,
∴A′Q⊥QE′,∵QE′與BC相交,∴A′Q⊥平面BB′C′C,∵A′Q?平面A′B′P,∴平面A′B′P⊥平面BB′C′C.
(Ⅲ)當(dāng)λ=1時,不妨設(shè)AA′=AC=2,∵點A′在平面ABC上的射影為△ABC的中心,∴A′A=A′B=A′C.∴△A′BC,△A′BB′都為等邊三角形.
取A′B的中點M,連CM,B′M,則CM⊥A′B,B′M⊥A′B.
∴∠B′MC為二面角B′-A′B-C的平面角,
在△B′CM中,B′M=CM=
,B′C=2
,∴cos∠B′MC=-
.
取BB′的中點R,連PR,A′R.則平面A′PR⊥平面A′BB′.
過P作PQ⊥A′R,則PQ⊥平面A′BB′.
過P作PN⊥A′B于N,連QN,則QN⊥A′B.
∴∠PNQ為二面角B′-A′B-P的平面角,
在△A′PB中,求得PN=
,
在△A′PR中,求得PQ=
.∴sin∠PNQ=
=
.
∵二面角C-A′B-P等于二面角B′-A′B-C與二面角B′-A′B-P的差,
設(shè)二面角C-A′B-P的大小為θ,
則cosθ=cos(∠B′MC-∠PNQ)=cos∠B′MC?cos∠PNQ+sin∠B′MC?sin∠PNQ
=-
?
+
?
=
.
∴二面角C-A′B-P的大小為arccos
.