精英家教網(wǎng)如圖，已知曲線C1：y=x3（x≥0）與曲線C2：y=-2x3+3x（x≥0）交于O，A，直線x=t（0＜t＜1）與曲線C1，C2分別交于B，D．
（Ⅰ）寫出四邊形ABOD的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式S=f（t）；
（Ⅱ）討論f（t）的單調(diào)性，并求f（t）的最大值．
分析：（Ⅰ）先求出兩曲線的交點O、A坐標，由直線x=t（0＜t＜1）與曲線C1，C2分別交于B，D表示出BD的長，利用四邊形ABOD的面積等于三角形ABO的面積+三角形OBD的面積；即可表示函數(shù)f（t）的關(guān)系式；
（Ⅱ）令f'（t）=0解得t，分區(qū)間討論f（t）的增減性得到哦f（t）的最大值及此時t的值即可．
解答：解：（Ⅰ）由
y=x3
y=-2x3+3x
得交點O、A的坐標分別是（0，0），（1，1）.f(t)=S△ABO+S△OBD=
1
2
|BD|•|1-0|=
1
2
|BD|=
1
2
(-3t3+3t)，
即f(t)=-
3
2
(t3-t)，(0＜t＜1)．
（Ⅱ）f′(t)=-
9
2
t2+
3
2
．令f'（t）=0解得t=
3
3
．
當0＜t＜
3
3
時，f′(t)＞0，從而f（t）在區(qū)間(0，
3
3
)上是增函數(shù)；
當
3
3
＜t＜1時，f′(t)＜0，從而f（t）在區(qū)間(
3
3
，1)上是減函數(shù)．
所以當t=
3
3
時，f（t）有最大值為f(
3
3
)=
3
3
．
點評：考查學生根據(jù)實際問題選擇函數(shù)關(guān)系的能力，以及利用導數(shù)研究函數(shù)增減性，利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的能力．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知曲線C1：y=x3（x≥0）與曲線C2：y=-2x3+3x（x≥0）交于O，A，直線x=
1
3
與曲線C1，C2分別交于B，D．則四邊形ABOD的面積S為（　　）
A、
4
9
B、
3
C、2
D、
1
3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2007•廣州一模）如圖，已知曲線C1：y=x2與曲線C2：y=-x2+2ax（a＞1）交于點O，A，直線x=t（0＜t≤1）與曲線C1，C2分別相交于點D，B，連結(jié)OD，DA，AB，OB．
（1）寫出曲邊四邊形ABOD（陰影部分）的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式S=f（t）；
（2）求函數(shù)S=f（t）在區(qū)間（0，1]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•黃岡模擬）如圖，已知曲線c1：
x2
a2
+
y2
b 2
=1(b＞a＞0，y≥0)與拋物線c2：x2=2py（p＞0）的交點分別為A、B，曲線c1和拋物線c2在點A處的切線分別為l1、l2，且l1、l2的斜率分別為k1、k2．
（Ⅰ）當
b
a
為定值時，求證k1•k2為定值（與p無關(guān)），并求出這個定值；
（Ⅱ）若直線l2與y軸的交點為D（0，-2），當a2+b2取得最小值9時，求曲線c1和c2的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知曲線C1：x2+y2=1（|x|＜1），C2：x2=8y+1（|x|≥1），動直線l與C1相切，與C2相交于A，B兩點，曲線C2在A，B處的切線相交于點M．
（1）當MA⊥MB時，求直線l的方程；
（2）試問在y軸上是否存在兩個定點T1，T2，當直線MT1，MT2斜率存在時，兩直線的斜率之積恒為定值？若存在，求出滿足的T1，T2點坐標；若不存在，請說明理由．

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