Question

已知函數(shù)f（x）=e^x，x∈R．
（1）若直線y=kx+1與f（x）的反函數(shù)的圖象相切，求實(shí)數(shù)k的值；
（2）設(shè)x＞0，討論曲線y=

f(x)

x2

與直線y=m（m＞0）公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（3）設(shè)函數(shù)h（x）滿足x²h′（x）+2xh（x）=

f(x)

x

，h（2）=

f(2)

8

，試比較h（e）與

7

8

的大小．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)的反函數(shù)，利用直線y=kx+1與f（x）的反函數(shù)的圖象相切，求實(shí)數(shù)k的值；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，利用最值討論曲線y=

f(x)

x2

與直線y=m（m＞0）公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

解答：解：（1）函數(shù)f（x）的反函數(shù)為g（x）=lnx，g′(x)=

1

x

，
設(shè)切點(diǎn)為P（x₀，y₀），則k=

1

x0

，切線方程：y=

1

x0

x-1+lnx0，
則-1+lnx₀=1，
所以x₀=e^x，即k=

1

e2

．
（Ⅱ）設(shè)h(x)=

ex

x2

(x＞0)，則h′(x)=

ex(x-2)

x3

，
由h′（x）＞0，得x＞2，
由h′（x）＜0，得0＜x＜2，
所以h（x）在（0，2）遞減，在（2，+∞）遞增，所以h(x)min=h(2)=

e2

4

，
且x＞0且x→0，則h（x）→+∞；x→+∞，則h（x）→+∞．
所以當(dāng)0＜m＜

e2

4

時(shí)，沒有交點(diǎn)；
當(dāng)m=

e2

4

時(shí)，有1個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)m＞

e2

4

時(shí)，2個(gè)交點(diǎn)；
（3）令F（x）=x²h（x），則F′（x）=x²h′（x）+2xh（x）=

ex

x

所以h（x）=

F(x)

x2

，故h′（x）=

F′(x)x2-2xF(x)

x4

=

ex-2F(x)

x3

令G（x）=e^x-2F（x），則G′（x）=e^x-2F′（x）=e^x-2•

ex

x

=

ex(x-2)

x

顯然，當(dāng)0＜x＜2時(shí)，G′（x）＜0，G（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞2時(shí)，G′（x）＞0，G（x）單調(diào)遞增；
所以，在（0，+∞）范圍內(nèi)，G（x）在x=2處取得最小值G（2）=0．
即x＞0時(shí)，e^x-2F（x）≥0．
故在（0，+∞）內(nèi)，h′（x）≥0，
所以h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
又因?yàn)閔（2）=

f(2)

8

=

e2

8

＞

7

8

，h（2）＜h（e）
所以h（e）＞

7

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，主要是求單調(diào)區(qū)間問題，屬于難題．