Question

【題目】設(shè).

（1）討論在上的單調(diào)性；

（2）令，試證明在上有且僅有三個(gè)零點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；（2）證明見解析.

【解析】

（1）首先求導(dǎo)得到，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

（2）首先根據(jù)，得到是的一個(gè)零點(diǎn)，再根據(jù)是偶函數(shù)得到在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，只需確定時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可，再求出在時(shí)的單調(diào)性和最值，確定其零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.

，

令，則或.

時(shí)，，單調(diào)遞增，

時(shí)，單調(diào)遞減，

時(shí)，，單調(diào)遞增，

時(shí)，，單調(diào)遞減.

的單調(diào)遞增區(qū)間是，

遞減區(qū)間是.

（2），

因?yàn)?/span>，所以是的一個(gè)零點(diǎn).

所以是偶函數(shù)，

即要確定在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，需確定時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.

①當(dāng)時(shí)，

令，即或.

時(shí)，單調(diào)遞減，

且，

時(shí)，，單調(diào)遞增，

且

在有唯一零點(diǎn)

②當(dāng)時(shí)，由于，.

而在單調(diào)遞增，

所以恒成立，故在無零點(diǎn)，

所以在有一個(gè)零點(diǎn)，

由于是偶函數(shù)，所以在有一個(gè)零點(diǎn)，而，

綜上在有且僅有三個(gè)零點(diǎn).