Question

如下圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，P分別是BC、A₁D₁的中點，M、N分別是AE、CD₁的中點，AD=AA₁=a,AB=2a.

（1）求證：MN∥面ADD₁A₁；

（2）求二面角P-AE-D的大小.

Answer 1

（1）證明1：取CD的中點K，連結MK,NK,

∵M、N、K分別為AK、CD₁、CD的中點,

∴MK∥AD,NK∥DD₁.

∴MK∥面ADD₁A,NK∥面ADD₁A₁.

∴面MNK∥面ADD₁A.

∴MN∥面ADD₁A₁.

（2）解法1：設F為AD的中點

∵P為A₁D₁的中點,∴PF∥DD₁.

∴PF⊥面ABCD.

作FH⊥AE，交AE于H，連結PH，則由三垂線定理得AE⊥PH.

從而∠PHF為二面角P-AE-D的平面角.

在Rt△AEF中，AF=，EF=2a，AE=，

從而FH=.

在Rt△PFH中，tanPFH=，

故：二面角P—AE—D的大小為arctan.

(1)證法2：以D為原點，DA、DC、DD₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立直角坐標系，

則A(a,0,0),B(a,2a,0),C(0,2a,0),A₁(a,0,a),D₁(0,0,a)，

∵E,P,M,N分別是BC,A₁D₁,AE,CD₁的中點，

∴E（，2a，0），P（，0，a），M（，a，0），N（0，a，）.

=（，0，），取n=（0，1，0），顯然n⊥面ADD₁A₁，·n=0，

∴⊥n，又MN面ADD₁A₁，∴MN∥面ADD₁A₁.

(2)解法2：∴過P作PH⊥AE，交AE于H，取AD的中點F，則F(，0，0)，

設H（x,y,0），則=(-x,-y,a)，=(-x,-y,0),又=(-，2a，0).

由·=0，及H在直線AE上，可得

解得x=a，y=a，

∴=（，，a），=（，，0）.

∴·=0，即⊥.

∴與所夾的角等于二面角P-AE-D的大小，cos＜，＞=.

故二面角P-AE-D的大小為arccos .