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（本題滿分12分）
如圖所示的幾何體是由以正三角形為底面的直棱柱被平面所截而得. ，為的中點．

（1）當時，求平面與平面的夾角的余弦值；
（2）當為何值時，在棱上存在點，使平面？
（1）（2）2

試題分析：（1）分別取、的中點、，連接、．
以直線、、分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

，則、、的坐標分別為
（1，0，1）、（0，，3）、（-1，0，4），
∴=（-1，，2），=（-2，0，3）
設平面的法向量，
由得
，可取         …… 3分
平面的法向量可以取           
∴           …… 5分
∴平面與平面的夾角的余弦值為．                  ……6分
（2）在（1）的坐標系中，，=（-1，，2），=（-2，0，-1）．
因在上，設，則

∴
于是平面的充要條件為

由此解得，    ……10分
即當=2時，在上存在靠近的第一個四等分點，使平面. ……12分
點評：空間向量解決立體幾何問題的關鍵是建立合適的坐標系，找準相關點的坐標
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（本題滿分12分）在四棱錐中,平面,,,
.
(Ⅰ)證明;
(Ⅱ)求二面角的正弦值;
(Ⅲ)設為棱上的點,滿足異面直線與所成的角為,求的長.
 

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，長方體中，，，點在上，且．

（Ⅰ）證明：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

在直三棱柱中，，分別是棱上的點（點 不同于點），且為的中點．

求證：（1）平面平面；
（2）直線平面．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐S-ABCD 的底面是正方形，每條側棱的長都是底面邊長的倍，P為側棱SD上的點．

（Ⅰ）求證：AC⊥SD；
（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，則側棱SC上是否存在一點E，使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，試說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

已知直線,平面，且，，給出下列命題
(1)若，則    （2）若，則
（3）若，則  （4）若，則
其中正確的命題個數是（ ）
A．1B．2C．3D．4

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分16分）
如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，．以的中點為球心、為直徑的球面切于點．

（1）求證：PD⊥平面；
（2）求直線與平面所成的角的正弦值；
（3）求點到平面的距離．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（14分）如右圖，簡單組合體ABCDPE，其底面ABCD為邊長為的正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝2EC＝.

(1)若N為線段PB的中點，求證：EN//平面ABCD；
(2)求點到平面的距離．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分15分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側棱底面，，是的中點，作交于點

（1）證明:平面.
（2）證明:平面.
（3）求二面角的大小.

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