Question

如圖所示，點A（p，o）（p＞0），點R在y軸上運動，點T在x軸上，N為動點，且

RT

•

RA

=0，

RN

+

RT

=0．
（I）設動點N的軌跡為曲線C，求曲線C的方程；
（II）設P，Q是曲線C上的兩個動點，M（x₀，y₀）是曲線C上一定點，若

PM

•

QM

=0，試證明直線PQ經過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

分析：（I）設N（x，y），由

RN

+

RT

=0知R是TN的中點，則T（-x，0），R（0，

y

2

），由

RT

•

RA

=0，知(-x，-

y

2

)•(p，

y

2

)=0，由此能求出點N的軌跡曲線C的方程．
（II）設P(

y12

4p

，y1)，Q(

y22

4p

，y2)，則kPQ=

y1-  y2

y12  4p - y22 4p

=

4p

y1+ y2

，kMP=

4p

y0+ y2

．由

PM

• 

QM

=0，得PM⊥QM，k_MP•k_MQ=-1，

4p

y0+y1

•

4p

y0+y2

=-1，由此能推導出直線PQ經過定點（x₀+4p，-y₀）．

解答：解：（I）設N（x，y），由

RN

+

RT

=0知R是TN的中點，
則T（-x，0），R（0，

y

2

），
∵

RT

•

RA

=0，
∴(-x，-

y

2

)•(p，

y

2

)=0，
整理，得y²=4px（p＞0）．
故點N的軌跡曲線C的方程是y²=4px（p＞0）．
（II）設P(

y12

4p

，y1)，Q(

y22

4p

，y2)，
則kPQ=

y1-  y2

y12  4p - y22 4p

=

4p

y1+ y2

，
kMP=

4p

y0+ y2

．
由

PM

• 

QM

=0，得PM⊥QM，
∴k_MP•k_MQ=-1，
∴

4p

y0+y1

•

4p

y0+y2

=-1，
從而（-1）（y₀+y₁）（y₀+y₂）=16p²．
∴（y₁+y₂）y₀+y₁y₂+y₀²+16p²=0．①
直線PQ的方程為y-y1=

4p

y1 +y2

(x-

y12

4p

)，
即（y₁+y₂）y-y₁y₂-4px=0．
①可變?yōu)椋▂₁+y₂）（-y₀）-y₁y₂-4p（x₀+4p）=0，
∴直線PQ經過定點（x₀+4p，-y₀）．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關知識，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．