如圖,在棱長為1的正方體中.
(I)在側(cè)棱上是否存在一個點P,使得直線與平面所成角的正切值為;
(Ⅱ)若P是側(cè)棱上一動點,在線段上是否存在一個定點,使得在平面上的射影垂直于.并證明你的結(jié)論.
(1)當(dāng)PC=時,直線AP與平面所成的角的正切值為.(2)點Q應(yīng)當(dāng)是A1C1的中點O1,
解法一:(Ⅰ)如圖,設(shè)PC=m,連AC,
設(shè)AC與BD相交于點O,AP與平面相交于點G,,
連結(jié)OG,因為PC∥平面,
平面∩平面APC=OG,故OG∥PC,
所以,OG=PC=.又AO⊥BD,AO⊥BB1,
所以AO⊥平面,
故∠AGO是AP與平面所成的角.
在Rt△AOG中,tanAGO=, 即m=.
所以,當(dāng)PC=時,直線AP與平面所成的角的正切值為. …………………6分
(Ⅱ)可以推測,點Q應(yīng)當(dāng)是A1C1的中點O1,因為D1O1⊥A1C1, 且 D1O1⊥A1A ,所以 D1O1⊥平面ACC1A1,又AP平面ACC1A1,故 D1O1⊥AP.那么根據(jù)三垂線定理知,D1O1在平面APD1的射影與AP垂直. …………………12分
解法二:(Ⅰ)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0),
B1(1,1,1),D1(0,0,1)
所以
又由知,為平面的一個法向量.
設(shè)AP與平面所成的角為,
則。
依題意有
解得.
故當(dāng)時,直線AP與平面所成的角的正切值為. ……………6分
(Ⅱ)若在A1C1上存在這樣的點Q,設(shè)此點的橫坐標(biāo)為,
則Q(x,1-,1),。
依題意,要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP,
等價于D1Q⊥AP
即Q為A1C1的中點時,滿足題設(shè)要求. …………………12分
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