如圖,在棱長為1的正方體中.

  

(I)在側(cè)棱上是否存在一個點P,使得直線與平面所成角的正切值為;          

  (Ⅱ)若P是側(cè)棱上一動點,在線段上是否存在一個定點,使得在平面上的射影垂直于.并證明你的結(jié)論.

(1)當(dāng)PC=時,直線AP與平面所成的角的正切值為.(2)點Q應(yīng)當(dāng)是A1C1的中點O1,


解析:

解法一:(Ⅰ)如圖,設(shè)PC=m,連AC,

設(shè)AC與BD相交于點O,AP與平面相交于點G,,

連結(jié)OG,因為PC∥平面

平面∩平面APC=OG,故OG∥PC,

所以,OG=PC=.又AO⊥BD,AO⊥BB1,

所以AO⊥平面,

故∠AGO是AP與平面所成的角.

在Rt△AOG中,tanAGO=, 即m=

所以,當(dāng)PC=時,直線AP與平面所成的角的正切值為. …………………6分

   (Ⅱ)可以推測,點Q應(yīng)當(dāng)是A1C1的中點O1,因為D1O1⊥A1C1, 且 D1O1⊥A1A ,所以 D1O1⊥平面ACC1A1,又AP平面ACC1A1,故 D1O1⊥AP.那么根據(jù)三垂線定理知,D1O1在平面APD1的射影與AP垂直. …………………12分

解法二:(Ⅰ)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0),

B1(1,1,1),D1(0,0,1)

所以          

又由知,為平面的一個法向量.

設(shè)AP與平面所成的角為,

。

依題意有

解得

故當(dāng)時,直線AP與平面所成的角的正切值為. ……………6分

   (Ⅱ)若在A1C1上存在這樣的點Q,設(shè)此點的橫坐標(biāo)為

則Q(x,1-,1),

依題意,要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP,

等價于D1Q⊥AP

即Q為A1C1的中點時,滿足題設(shè)要求. …………………12分         

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在棱長都相等的正三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別為AA1,B1C的中點.
(1)求證:DE∥平面ABC;
(2)求證:B1C⊥平面BDE.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,一棱長為2的正四面體O-ABC的頂點O在平面α內(nèi),底面ABC平行于平面α,平面OBC與平面α的交線為l.
(1)當(dāng)平面OBC繞l順時針旋轉(zhuǎn)與平面α第一次重合時,求平面OBC轉(zhuǎn)過角的正弦
值.
(2)在上述旋轉(zhuǎn)過程中,△OBC在平面α上的投影為等腰△OB1C1(如圖1),B1C1的中點為O1.當(dāng)AO⊥平面α?xí)r,問在線段OA上是否存在一點P,使O1P⊥OBC?請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,在棱長都相等的正三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別為AA1,B1C的中點.
(1)求證:DE∥平面ABC;
(2)求證:B1C⊥平面BDE.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009-2010學(xué)年江蘇省南京市金陵中學(xué)高三(上)8月月考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

如圖,在棱長都相等的正三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別為AA1,B1C的中點.
(1)求證:DE∥平面ABC;
(2)求證:B1C⊥平面BDE.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012年安徽省合肥八中高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

如圖,一棱長為2的正四面體O-ABC的頂點O在平面α內(nèi),底面ABC平行于平面α,平面OBC與平面α的交線為l.
(1)當(dāng)平面OBC繞l順時針旋轉(zhuǎn)與平面α第一次重合時,求平面OBC轉(zhuǎn)過角的正弦
值.
(2)在上述旋轉(zhuǎn)過程中,△OBC在平面α上的投影為等腰△OB1C1(如圖1),B1C1的中點為O1.當(dāng)AO⊥平面α?xí)r,問在線段OA上是否存在一點P,使O1P⊥OBC?請說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案