已知橢圓的右焦點為，點在橢圓上．

（1）求橢圓的方程；
（2）點在圓上，且在第一象限，過作圓的切線交橢圓于,兩點，問：△的周長是否為定值？如果是，求出定值；如果不是，說明理由．

（1）；（2）詳見解析

解析試題分析：（1）根據(jù)點在曲線上可代入方程，再根據(jù)橢圓中，解方程組可得的值。從而可得橢圓方程。法二，還可根據(jù)橢圓的定義橢圓上點到兩焦點的距離為直接求得，再根據(jù)求。（2）設的方程為，根據(jù)與圓相切可得間的關系。再將直線與橢圓方程聯(lián)立消掉整理為關于的一元二次方程，可得根與系數(shù)的關系。由直線與圓錐曲線的相交弦公式可得，再根據(jù)兩點間距離可求，將三邊長相加，根據(jù)前邊得到的間的關系問題即可得證。
試題解析：（1）『解法1』：
(1)由題意，得，2分
解得4分
∴橢圓方程為.5分
『解法2』：
右焦點為，
左焦點為，點在橢圓上

所以，
所以橢圓方程為5分
（2）『解法1』：
由題意，設的方程為
∵與圓相切
∴，即6分
由，得7分
設，則，8分
∴
10分
又
 

∴11分
∴（定值）12分
『解法2』：
設，

8分
連接，由相切條件知：

10分
同理可求
所以為定值.12分
考點：1橢圓的標準方程；2直線和圓錐曲線的相交弦問題；3直線和圓的位置關系。

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知中心在坐標原點,焦點在軸上的橢圓過點,且它的離心率.
 
(1)求橢圓的標準方程;
(2)與圓相切的直線交橢圓于兩點,若橢圓上一點滿足,求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的短半軸長為，動點在直線（為半焦距）上．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求以為直徑且被直線截得的弦長為的圓的方程；
（3）設是橢圓的右焦點，過點作的垂線與以為直徑的圓交于點，
求證：線段的長為定值，并求出這個定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的由頂點為A，右焦點為F，直線與x軸交于點B且與直線交于點C，點O為坐標原點，,過點F的直線與橢圓交于不同的兩點M,N.

（1）求橢圓的方程；
（2）求的面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知拋物線．
(1)若圓心在拋物線上的動圓，大小隨位置而變化，但總是與直線相切，求所有的圓都經(jīng)過的定點坐標；
(2)拋物線的焦點為,若過點的直線與拋物線相交于兩點,若,求直線的斜率；
(3)若過點且相互垂直的兩條直線,拋物線與交于點與交于點．
證明：無論如何取直線,都有為一常數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：＝1(a>b>0)的離心率e＝，一條準線方程為x＝
(1)求橢圓C的方程；
(2)設G、H為橢圓C上的兩個動點，O為坐標原點，且OG⊥OH.
①當直線OG的傾斜角為60°時，求△GOH的面積；
②是否存在以原點O為圓心的定圓，使得該定圓始終與直線GH相切？若存在，請求出該定圓方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖；.已知橢圓C:的離心率為，以橢圓的左頂點T為圓心作圓T:設圓T與橢圓C交于點M、N.

（1）求橢圓C的方程；
（2）求的最小值，并求此時圓T的方程;
（3）設點P是橢圓C上異于M，N的任意一點，且直線MP，NP分別與軸交于點R，S，O為坐標原點. 試問；是否存在使最大的點P，若存在求出P點的坐標，若不存在說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：＝1(a>b>0)的一個頂點為A(2，0)，離心率為.直線y＝k(x－1)與橢圓C交于不同的兩點M，N.
(1)求橢圓C的方程；
(2)當△AMN的面積為時，求k的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知雙曲線的焦點在x軸上，兩個頂點間的距離為2，焦點到漸近線的距離為.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)寫出雙曲線的實軸長、虛軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程．

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