Question

已知四棱錐P-ABCD中PA⊥平面ABCD，且PA=4PQ=4，底面為直角梯形，
∠CDA=∠BAD=90°，AB=2，CD=1，AD=

2

，M，N分別是PD，PB的中點(diǎn)．
（1）求證：MQ∥平面PCB；
（2）求截面MCN與底面ABCD所成二面角的大��；
（3）求點(diǎn)A到平面MCN的距離．

Answer 1

分析：此類(lèi)題一般有兩種解法，一種是利用空間向量方法來(lái)證明，一種是用立體幾何中線(xiàn)面位置關(guān)系進(jìn)行證明，本題提供兩種解法
向量法：對(duì)于（1）求證：MQ∥平面PCB，可求出線(xiàn)的方向向量與面的法向量，如果兩者的內(nèi)積為0則說(shuō)明線(xiàn)面平行
對(duì)于（2）求截面MCN與底面ABCD所成二面角的大小，求出兩個(gè)平面的法向量，然后根據(jù)根據(jù)二面角的正弦與法向量的數(shù)量積的關(guān)系，求解；
對(duì)于（3）求點(diǎn)A到平面MCN的距離，求出平面上任一點(diǎn)與A連線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的向量，求這個(gè)向量在該平面的法向量上的投影即可，此法求點(diǎn)到面的距離甚為巧妙．
幾何法：（1）求證MQ∥平面PCB，用線(xiàn)面平行的判定定理證明即可；
（2）求截面MCN與底面ABCD所成二面角的大小，先在圖形中作出二面角的平面角，再證明其是二面角的平面角，然后根據(jù)題設(shè)中的條件求出平面角的三角函數(shù)值，一般要在一個(gè)三角形中求解函數(shù)值．
（3）求點(diǎn)A到平面MCN的距離，須先作出點(diǎn)A在面上的垂線(xiàn)段，然后在三角形中求出此線(xiàn)段的長(zhǎng)度即可．

解答：解：法一向量法：
以A為原點(diǎn)，以AD，AB，AP分別為x，y，z建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
由AB=2，CD=1，AD=

2

，PA=4PQ=4，M，N分別是PD，PB的中點(diǎn)，
可得：A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(

2

，1，0)，D(

2

，0，0)，P(0，0，4)，Q(0，0，3)，M(

2

2

，0，2)，N(0，1，2)，
∴

BC

=(

2

，-1，0)，

PB

=(0，2，-4)，

MQ

=(-

2

2

，0，1)
設(shè)平面的PBC的法向量為

n0

=(x，y，z)，
則有：

n0 ⊥ BC ?(x，y，z)•( 2 ，-1，0)=0? 2 x-y=0 n0 ⊥ PB ?(x，y，z)•(0，2，-4)=0?2y-4z=0

令z=1，則x=

2

，y=2?

n0

=(

2

，2，1)，（3分）
∴

MQ

•

n0

=(-

2

2

，0，1)•(

2

，2，1)=0，
又MQ?平面PCB，∴MQ∥平面PCB；
（2）設(shè)平面的MCN的法向量為

n

=(x，y，z)，又

CM

=(-

2

2

，-1，2)，

CN

=(-

2

，0，2)
則有：

n ⊥ CM ?(x，y，z)•(- 2 2 ，-1，2)=0?- 2 2 x-y+2z=0 n ⊥ CN ?(x，y，z)•(- 2 ，0，2)=0?- 2 x+2z=0

令z=1，則x=

2

，y=1?

n

=(

2

，1，1)，
又

AP

=(0，0，4)為平面ABCD的法向量，
∴cos?

n

，

AP

＞=

n • AP

| n |•| AP |

=

4

2×4

=

1

2

，又截面MCN與底面ABCD所成二面角為銳二面角，
∴截面MCN與底面ABCD所成二面角的大小為

π

3

，
（3）∵

CA

=(-

2

，-1，0)，∴所求的距離d=

| n • CA |

| n |

=

|- 2 × 2 -1×1+1×0|

2

=

3

2

；
法二，幾何法：
（1）取AP的中點(diǎn)E，連接ED，則ED∥CN，依題有Q為EP的中點(diǎn)，所以MQ∥ED，所以MQ∥CN，
又MQ?平面PCB，CN?平面PCB，∴MQ∥平面PCB
（2）易證：平面MEN∥底面ABCD，所以截面MCN與平面MEN所成的二面角即為平面MCN與底面ABCD所成的二面角，
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥平面MEN，過(guò)E做EF⊥MN，垂足為F，連接QF，
則由三垂線(xiàn)定理可知QF⊥MN，
由（1）可知M，C，N，Q四點(diǎn)共面所以∠QFE為截面MCN與平面MEN所成的二面角的平面角，在Rt△MEN中，ME=

2

2

，NE=1，MN=

6

2

，故EF=

3

3

，
所以：tan∠QFE=

3

，
所以：∠QFE=

π

3

；
（3）因?yàn)镋P的中點(diǎn)為Q，且平面MCN與PA交于點(diǎn)Q，所以點(diǎn)A到平面MCN的距離是點(diǎn)E到平面MCN的距離的3倍，
由（2）知：MN⊥平面QEF，則平面MCNQ⊥平面QEF且交線(xiàn)為QF，作EH⊥QF，垂足為H，則EH⊥平面MCNQ，故EH即為點(diǎn)E到平面MCN的距離．
在Rt△EQF中，EF=

3

3

，∠EQF=

π

6

，故EH=

1

2

．即：點(diǎn)A到平面MCN的距離為

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線(xiàn)面平行的證明與二面角的求法，點(diǎn)到面的距離的求法，是立體幾何中一道綜合性很強(qiáng)的題，解答本題有一定難度，空間向量的引入給解決此類(lèi)題提供了一個(gè)較好的辦法，題后總結(jié)一下兩種方法求解本題的優(yōu)缺點(diǎn)，體會(huì)向量法的思維易而運(yùn)算難與幾何法的思維難而運(yùn)算易的特征．