Question

如圖，正四棱柱中，，點(diǎn)在上且．
（Ⅰ）證明：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小．

Answer 1

（Ⅰ）略
（Ⅱ）二面角的大小為

依題設(shè)，，．
（Ⅰ）連結(jié)交于點(diǎn)，則．
由三垂線(xiàn)定理知，．························ 1分
在平面內(nèi)，連結(jié)交于點(diǎn)，
由于，
故，，
與互余．
于是．……………………..2分
與平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)都垂直，…………….3分
所以平面．··························· 4分
（Ⅱ）作，垂足為，連結(jié)．由三垂線(xiàn)定理知，
故是二面角的平面角．·················· 5分
，
，．…………..6分
，．
又，…………. 7分．
．
所以二面角的大小為．················· 8分
解法二：
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線(xiàn)為軸的正半軸，
建立如圖所示直角坐標(biāo)系．
依題設(shè)，．
，．·········· 2分
（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150957826519.gif" style="vertical-align:middle;" />，，
故，．…………..3分
又，
所以平面．··························· 4分
（Ⅱ）設(shè)向量是平面的法向量，則
，．
故，．
令，則，，．················· 6分
等于二面角的平面角，
．
所以二面角的大小為．……….   8分