【題目】已知函數, ,(其中, 為自然對數的底數, ……).
(1)令,若對任意的恒成立,求實數的值;
(2)在(1)的條件下,設為整數,且對于任意正整數, ,求的最小值.
【答案】(1)1;(2)2
【解析】試題分析:(1)求出函數的導數,求出h(x)的解析式,求出函數的導數,通過討論a的范圍,求出函數的單調區(qū)間,從而求出函數的最小值,求出a的值即可;(2)得到1+x≤ex,令x=﹣(n∈N*,k=0,1,2,3,…,n﹣1),則0<1﹣≤,得到累加,通過放大不等式,證明即可.
解析:
(1)因為,所以,
由對任意的恒成立,即,由,
(i)當時, , 的單調遞增區(qū)間為,
所以時, ,所以不滿足題意.
(ii)當時,由,得
時, , 時, ,
所以在區(qū)間上單調遞減,在區(qū)間上單調遞增,
所以的最小值為 .
設,所以,① 因為,令得,所以在區(qū)間上單調遞增,在區(qū)間上單調遞減,
所以,②,由①②得,則.
(2)由(1)知,即,
令(, )則,
所以,
所以
,
所以,又,所以的最小值為
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點為F,直線與x軸的交點為P,與拋物線的交點為Q,且.
(1)求拋物線的方程;
(2)過F的直線l與拋物線相交于A,D兩點,與圓相交于B,C兩點(A,B兩點相鄰),過A,D兩點分別作拋物線的切線,兩條切線相交于點M,求△ABM與△CDM的面積之積的最小值.
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【題目】某校為了鼓勵學生熱心公益,服務社會,成立了“慈善義工社”.2017年12月,該!按壬屏x工社”為學生提供了4次參加公益活動的機會,學生可通過網路平臺報名參加活動.為了解學生實際參加這4次活動的情況,該校隨機抽取100名學生進行調查,數據統(tǒng)計如下表,其中“√”表示參加,“×”表示未參加.
根據表中數據估計,該校4000名學生中約有120名這4次活動均未參加.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)從該校4000名學生中任取一人,試估計其2017年12月恰參加了2次學校組織的公益活動的概率;
(Ⅲ)已知學生每次參加公益活動可獲得10個公益積分,任取該校一名學生,記該生2017年12月獲得的公益積分為,求隨機變量的分布列和數學期望.
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【題目】定義在(0,+∞)上的單調函數f(x),x∈(0,+∞),f[f(x)﹣lnx]=1,則方程f(x)﹣f′(x)=1的解所在區(qū)間是 ( 。
A. (2,3) B. C. D. (1,2)
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【題目】若函數f(x)=sin2ax-sin ax·cos ax- (a>0)的圖象與直線y=b相切,并且切點的橫坐標依次成公差為的等差數列.
(1)求a,b的值;
(2)若x0∈,且x0是y=f(x)的零點,試寫出函數y=f(x)在上的單調增區(qū)間.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】定義在[1,+∞)上的函數f(x)滿足:①f(2x)=2f(x);②當2≤x≤4時,f(x)=1-|x-3|.則函數g(x)=f(x)-2在區(qū)間[1,28]上的零點個數為________.
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