設(shè)橢圓的右焦點為，直線與軸交于點，若（其中為坐標原點）．
（I）求橢圓的方程；
（II）設(shè)是橢圓上的任意一點，為圓的任意一條直徑（、為直徑的兩個端點），求的最大值．

（I）橢圓的方程為；
（II）當時，，故

解析試題分析：（I）由題設(shè)知，，， 由，
得．解得．所以橢圓的方程為
（II）方法1：設(shè)點，因為的中點坐標為，
所以所以

．
因為點在圓上，所以，即．
因為點在橢圓上，所以，即．
故．
因為，所以當時，
法2：由題知圓N: 的圓心為N；則

從而求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最大值；
因為點在橢圓上，設(shè)點所以，即．
又因為,所以；
因為，所以當時，，故
方法3：①若直線的斜率存在，設(shè)的方程為，
由，解得．因為是橢圓上的任一點，設(shè)點，
所以，即．所以
故．
因為，所以當時，，故
②若直線EF的斜率不存在，此時EF的方程為； 由，解得或. 
不妨設(shè)E(0，3),F(0，1)； 因為點在橢圓上，設(shè)點所以，即
所以，故
因為，所以當時，，故
考點：本題主要考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，平面向量的坐標運算。
點評：難題，求橢圓的標準方程，主要運用了橢圓的幾何性質(zhì)，注意明確焦點軸和a,b,c的關(guān)系。曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題（2）注意討論直線的斜率存在、不存在兩種情況，易于忽視。熟練進行平面向量的坐標運算，是正確解題的關(guān)鍵。

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓:的焦距為,離心率為,其右焦點為,過點作直線交橢圓于另一點.
（Ⅰ）若,求外接圓的方程;
（Ⅱ）若直線與橢圓相交于兩點、，且，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在直角坐標系中，射線OA: x－y=0（x≥0），
OB: x+2y=0（x≥0），過點P(1,0)作直線分別交射線OA、OB于A、B兩點.
（1）當AB中點為P時，求直線AB的方程；
（2）當AB中點在直線上時，求直線AB的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓過點，其長軸、焦距和短軸的長的平方依次成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若直線與軸正半軸、軸分別交于點，與橢圓分別交于點，各點均不重合，且滿足，． 當時，試證明直線過定點．過定點（1，0）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上．若橢圓上的點到焦點、的距離之和等于4．
（1）寫出橢圓的方程和焦點坐標；
（2）過點的直線與橢圓交于兩點、，當的面積取得最大值時，求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點的直線與橢圓相切，直線與軸交于點，當為何值時的面積有最小值？并求出最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)圓C與兩圓，中的一個內(nèi)切，另一個外切.
（1）求C的圓心軌跡L的方程；
（2）設(shè)直線l是圓O:在P（x0，y0）(x0y0 ≠ 0)處的切線，且P在圓上，l與軌跡L相交不同的A,B兩點，證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知離心率為的橢圓上的點到左焦點的最長距離為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖，過橢圓的左焦點任作一條與兩坐標軸都不垂直的弦，若點在軸上，且使得為的一條內(nèi)角平分線，則稱點為該橢圓的“左特征點”，求橢圓的“左特征點”的坐標．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的左右焦點分別為、，離心率，直線經(jīng)過左焦點.
（1）求橢圓的方程；
（2）若為橢圓上的點，求的范圍．

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