Question

設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，A（2，0），B（0，1）是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線y=kx（k＞0）與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E、F兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若

ED

=6

DF

，求k的值；
（Ⅱ）求四邊形AEBF面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）依題可得橢圓的方程，設(shè)直線AB，EF的方程分別為x+2y=2，y=kx，D（x₀，kx₀），E（x₁，kx₁），F(xiàn)（x₂，kx₂），且x₁，x₂滿足方程（1+4k²）x²=4，進(jìn)而求得x₂的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)

ED

=6

DF

求得x₀的表達(dá)式，由D在AB上知x₀+2kx₀=2，進(jìn)而求得x₀的另一個(gè)表達(dá)式，兩個(gè)表達(dá)式相等求得k．
（Ⅱ）由題設(shè)可知|BO|和|AO|的值，設(shè)y₁=kx₁，y₂=kx₂，進(jìn)而可表示出四邊形AEBF的面積進(jìn)而根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求得最大值．

解答：解：（Ⅰ）依題設(shè)得橢圓的方程為

x2

4

+y2=1，
直線AB，EF的方程分別為x+2y=2，y=kx（k＞0）．
如圖，設(shè)D（x₀，kx₀），E（x₁，kx₁），F(xiàn)（x₂，kx₂），其中x₁＜x₂，

且x₁，x₂滿足方程（1+4k²）x²=4，
故x2=-x1=

2

1+4k2

．①
由

ED

=6

DF

知x₀-x₁=6（x₂-x₀），得x0=

1

7

(6x2+x1)=

5

7

x2=

10

7 1+4k2

；
由D在AB上知x₀+2kx₀=2，得x0=

2

1+2k

．
所以

2

1+2k

=

10

7 1+4k2

，
化簡(jiǎn)得24k²-25k+6=0，
解得k=

2

3

或k=

3

8

．
（Ⅱ）由題設(shè)，|BO|=1，|AO|=2．由（Ⅰ）知，E（x₁，kx₁），F(xiàn)（x₂，kx₂），
不妨設(shè)y₁=kx₁，y₂=kx₂，由①得x₂＞0，根據(jù)E與F關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可知y₂=-y₁＞0，
故四邊形AEBF的面積為S=S_△OBE+S_△OBF+S_△OAE+S_△OAF
=

1

2

|OB|•(-x1)+

1

2

|OB|•x2+

1

2

|OA|•y2+

1

2

|OA|•（-y₁）
=

1

2

|OB|(x2-x1)+

1

2

|OA|(y2-y1)
=x₂+2y₂
=

(x2+2y2)2

=

x 2 2 +4 y 2 2 +4x2y2

≤

2( x 2 2 +4 y 2 2 )

=2

2

，
當(dāng)x₂=2y₂時(shí)，上式取等號(hào)．所以S的最大值為2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線的綜合問題是支撐圓錐曲線知識(shí)體系的重點(diǎn)內(nèi)容，問題的解決具有入口寬、方法靈活多樣等，而不同的解題途徑其運(yùn)算量繁簡(jiǎn)差別很大．