Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)．
（1）求證：PB∥平面ACE；
（2）若四面體E-ACD的體積為

2

3

，求AB的長．

Answer 1

（1）證明：連接BD交AC于點(diǎn)O，連接EO，
∵ABCD是正方形
∴點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)
又∵點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)
∴EO是△DPB的中位線．
∴PB∥EO．
又∵EO?平面ACE，PB?平面ACE
∴PB∥平面ACE
（2）取AD的中點(diǎn)H，連接EH
∵點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)
∴EH∥PA
又∵PA⊥平面ABCD
∴EH⊥平面ABCD．
設(shè)AB=x，則PA=AD=CD=x，且EH=

1

2

PA=

1

2

x．
所以VE-ACD=

1

3

S△ACD×EH=

1

3

×

1

2

×AD×CD×EH=

1

6

•x•x•

1

2

x=

1

12

x3=

2

3

解得x=2
故AB的長為2