Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1處取得極值4，且|a|＜|b|．
（1）求a、b的值，并確定f（1）是函數(shù)的極大值還是極小值；
（2）若對(duì)于任意x∈[0，2]的時(shí)，都有x³+ax²+bx＞c²+6c成立，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后根據(jù)f（1）=4，f'（1）=0求出a，b的值，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷f（1）是極小值．
（2）先將（1）中結(jié)果代入，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g（x）=x³+3x²-9x在[0，2]上的最小值的問(wèn)題，進(jìn)而可解．

解答：解：（1）∵f（x）=x³+ax²+bx+a²∴f'（x）=3x²+2ax+b
由題意可知：f（1）=1+a+b+a²=4，f'（1）=3+2a+b=0
解得：

a=-2 b=1

或

a=3 b=-9

∵|a|＜|b|∴

a=3 b=-9

當(dāng)a=3，b=-9時(shí)，f'（x）=3x²+6x-9=3（x+3）（x-1）
當(dāng)x＞1或x＜-3時(shí)f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增
當(dāng)-3＜x＜1時(shí)f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減
∴f（1）是函數(shù)的極小值
（2）由題意可知，x³+3x²-9x＞c²+6c對(duì)于任意x∈[0，2]恒成立
令g（x）=x³+3x²-9x，則g'（x）=3x²+6x-9=3（x+3）（x-1）
∴當(dāng)x＞1或x＜-3時(shí)g'（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增
當(dāng)-3＜x＜1時(shí)g'（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減
∴x=1時(shí)函數(shù)g（x）取到最小值g（1）=-5
∴只要-5＞c²+6c即可
-5＜c＜-1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的極值與其導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系以及函數(shù)在閉區(qū)間上最值的求法．導(dǎo)數(shù)時(shí)高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，每年必考要給予充分的重視．