【題目】設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx.
(1)若1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范圍;
(2)當(dāng)b=1時(shí),若對(duì)任意x∈[0,1],-1≤f(x)≤1恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)5≤f(-2)≤10;(2)[-2,0).
【解析】
(1)用和表示 ,再根據(jù)不等式的性質(zhì)求得.
(2)對(duì)進(jìn)行參變分離,根據(jù) 和求得.
解 (1)方法一
∵f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1),且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤f(-2)≤10.
方法二 設(shè)f(-2)=mf(-1)+nf(1),
即4a-2b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a-(m-n)b,比較兩邊系數(shù):
∴f(-2)=3f(-1)+f(1),
下同方法一.
(2)當(dāng)x∈[0,1]時(shí),-1≤f(x)≤1,即-1≤ax2+x≤1,
即當(dāng)x∈[0,1]時(shí),ax2+x+1≥0且ax2+x-1≤0恒成立;
當(dāng)x=0時(shí),顯然,ax2+x+1≥0且ax2+x-1≤0均成立;
當(dāng)x∈(0,1]時(shí),若ax2+x+1≥0恒成立,則a≥--=-(+)2+,
而-(+)2+在x∈(0,1]上的最大值為-2,∴a≥-2;
當(dāng)x∈(0,1]時(shí),ax2+x-1≤0恒成立,則a≤-=(-)2-,
而(-)2-在x∈(0,1]上的最小值為0,∴a≤0,
∴-2≤a≤0,而a≠0,因此所求a的取值范圍為[-2,0).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)將100名高一新生分成水平相同的甲、乙兩個(gè)“平行班”,每班50人.陳老師采用A,B兩種不同的教學(xué)方式分別在甲、乙兩個(gè)班進(jìn)行教改實(shí)驗(yàn).為了了解教學(xué)效果,期末考試后,陳老師對(duì)甲、乙兩個(gè)班級(jí)的學(xué)生成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,畫出頻率分布直方圖(如下圖).記成績(jī)不低于90分者為“成績(jī)優(yōu)秀”.
根據(jù)頻率分布直方圖填寫下面2×2列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為:“成績(jī)優(yōu)秀”與教學(xué)方式有關(guān).
甲班(A方式) | 乙班(B方式) | 總計(jì) | |
成績(jī)優(yōu)秀 | |||
成績(jī)不優(yōu)秀 | |||
總計(jì) |
附:K2=.
P(K2≥k) | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 |
k | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,直線與曲線交于兩點(diǎn).
(1)求直線l的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知點(diǎn)的極坐標(biāo)為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓:,點(diǎn)是直線:上的一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作圓M的切線、,切點(diǎn)為、.
(Ⅰ)當(dāng)切線PA的長(zhǎng)度為時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo);
(Ⅱ)若的外接圓為圓,試問(wèn):當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí),圓是否過(guò)定點(diǎn)?若存在,求出所有的定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由;
(Ⅲ)求線段長(zhǎng)度的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】假設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)X是服從正態(tài)分布N(800,502)的隨機(jī)變量.記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過(guò)900的概率為p0 .
(1)求p0的值;
(參考數(shù)據(jù):若X~N(μ,σ2),有P(μ﹣σ<X≤μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<X≤μ+2σ)=0.9544,P(μ﹣3σ<X≤μ+3σ)=0.9974.)
(2)某客運(yùn)公司用A,B兩種型號(hào)的車輛承擔(dān)甲、乙兩地間的長(zhǎng)途客運(yùn)業(yè)務(wù),每車每天往返一次,A,B兩種車輛的載客量分別為36人和60人,從甲地去乙地的營(yíng)運(yùn)成本分別為1600元/輛和2400元/輛.公司擬組建一個(gè)不超過(guò)21輛車的客運(yùn)車隊(duì),并要求B型車不多于A型車7輛.若每天要以不小于p0的概率運(yùn)完從甲地去乙地的旅客,且使公司從甲地去乙地的營(yíng)運(yùn)成本最小,那么應(yīng)配備A型車、B型車各多少輛?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在奧運(yùn)知識(shí)有獎(jiǎng)問(wèn)答競(jìng)賽中,甲、乙、丙三人同時(shí)回答一道有關(guān)奧運(yùn)知識(shí)的問(wèn)題,已知甲答對(duì)這道題的概率是,甲、乙兩人都回答錯(cuò)誤的概率是,乙、丙兩人都回答正確的概率是.設(shè)每人回答問(wèn)題正確與否相互獨(dú)立的.
(Ⅰ)求乙答對(duì)這道題的概率;
(Ⅱ)求甲、乙、丙三人中,至少有一人答對(duì)這道題的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè)函數(shù),其中.證明:的圖象在圖象的下方.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x﹣alnx(a∈R)
(1)當(dāng)a=2時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線方程;
(2)求函數(shù)f(x)的極值.
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