【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣ ax2+(1﹣a)x,其中a∈R,f(x)的導(dǎo)函數(shù)是f′(x).
(1)求函數(shù)f(x)的極值;
(2)在曲線y=f(x)的圖象上是否存在不同的兩點(diǎn)A(x1 , y1),B(x2 , y2)(x1≠x2),使得直線AB的斜率k=f′( )?若存在,求出x1與x2的關(guān)系;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)解:由已知得,f′(x)= (1)當(dāng)a≤0時(shí),∵x>0,∴f′(x)>0;
∴f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),此時(shí)函數(shù)f(x)無(wú)極值;(2)當(dāng)a>0時(shí), ;
∴當(dāng)x 時(shí),g′(x)>0;當(dāng)x 時(shí),g′(x)<0;
∴函數(shù)f(x)在 上是增函數(shù),在 上是減函數(shù);
∴當(dāng) 時(shí),f(x)有極大值 ,無(wú)極小值;
綜上所述,當(dāng)a≤0時(shí),函數(shù)f(x)無(wú)極值,當(dāng)a>0時(shí),f(x)有極大值 ,無(wú)極小值.
(2)解:由題意得,
=
= = .
.
由 得, ;
即 ,即 ;
令 ,不妨設(shè)x1>x2,則t>1,記 ;
,所以g(t)在(1,+∞)上是增函數(shù);
所以g(t)>g(1)=0,所以方程g(t)=0無(wú)解,則滿(mǎn)足條件的兩點(diǎn)A,B不存在.
【解析】(1)求導(dǎo)數(shù) ,討論a的符號(hào),這樣便可判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào),從而可判斷每種情況是否存在極值,若存在便可求出該極值;(2)先根據(jù)條件求出斜率 ,而可得到 ,這樣便可根據(jù)條件得出 ,然后換元 ,并設(shè)x1>x2 , t>1,從而得出 ;求導(dǎo)數(shù)并可判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)g′(t)>0,從而g(t)>g(1),而g(1)=0,這即說(shuō)明g(t)=0無(wú)解,從而得出滿(mǎn)足條件的兩點(diǎn)A,B不存在.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,側(cè)面PAD底面ABCD, ;
(1)求證:平面PAB平面PCD;
(2)若過(guò)點(diǎn)B的直線垂直平面PCD,求證: //平面PAD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣4|x|+3,x∈R.
(1)判斷函數(shù)的奇偶性并將函數(shù)寫(xiě)成分段函數(shù)的形式;
(2)畫(huà)出函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象寫(xiě)出它的單調(diào)區(qū)間;
(3)若函數(shù)f(x)的圖象與y=a的圖象有四個(gè)不同交點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子,在已知它們的點(diǎn)數(shù)不同的條件下,有一顆是6點(diǎn)的概率是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一個(gè)口袋裝有大小相同的小球9個(gè),其中紅球2個(gè)、黑球3個(gè)、白球4個(gè),現(xiàn)從中抽取2次,每次抽取一個(gè)球.
(1)若有放回地抽取2次,求兩次所取的球的顏色不同的概率;
(2)若不放回地抽取2次,取得紅球記2分,取得黑球記1分,取得白球記0分,記兩次取球的得分之和為隨機(jī)變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《漢字聽(tīng)寫(xiě)大會(huì)》不斷創(chuàng)收視新高,為了避免“書(shū)寫(xiě)危機(jī)”弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化,某市對(duì)全市10萬(wàn)名市民進(jìn)行了漢字聽(tīng)寫(xiě)測(cè)試,調(diào)查數(shù)據(jù)顯示市民的成績(jī)服從正態(tài)分布.現(xiàn)從某社區(qū)居民中隨機(jī)抽取50名市民進(jìn)行聽(tīng)寫(xiě)測(cè)試,發(fā)現(xiàn)被測(cè)試市民正確書(shū)寫(xiě)漢字的個(gè)數(shù)全部在160到184之間,將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成六組:第一組,第二組,…,第六組,如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.
(1)試評(píng)估該社區(qū)被測(cè)試的50名市民的成績(jī)?cè)谌惺忻裰谐煽?jī)的平均狀況及這50名市民成績(jī)?cè)?72個(gè)以上(含172個(gè))的人數(shù);
(2)在這50名市民中成績(jī)?cè)?72個(gè)以上(含172個(gè))的人中任意抽取2人,該2人中成績(jī)排名(從高到低)在全市前130名的人數(shù)記為,求的數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù):若~,則, , .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)如果對(duì)于任意的, 恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)設(shè)函數(shù), ,過(guò)點(diǎn)作函數(shù)的圖象的所有切線,令各切點(diǎn)的橫坐標(biāo)按從小到大構(gòu)成數(shù)列,求數(shù)列的所有項(xiàng)之和的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,AE⊥DE,CD⊥平面ADE,AB⊥平面ADE,CD=DA=6,AB=2,DE=3.
(1)求到平面的距離
(2)在線段上是否存在一點(diǎn),使?若存在,求出的值;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+3x2﹣9x+3.求:
(1)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)f(x)的極值.
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