已知函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
（Ⅲ）求證：（，e是自然對數(shù)的底數(shù)）.

（Ⅰ）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅱ）實數(shù)a的取值范圍是；（Ⅲ）詳見解析.

解析試題分析：（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,即判斷在各個區(qū)間上的符號,只需對求導(dǎo)即可；（Ⅱ）當(dāng)時，不等式恒成立，即恒成立，令 （），只需求出最大值,讓最大值小于等于零即可,可利用導(dǎo)數(shù)求最值,從而求出的取值范圍；（Ⅲ）要證（成立,即證,即證,由（Ⅱ）可知當(dāng)時，在上恒成立，又因為,從而證出.
試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時，（），（），
由解得，由解得,故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
（Ⅱ）因當(dāng)時，不等式恒成立，即恒成立，設(shè) （），只需即可．由，
（�。┊�(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故 成立；
（ⅱ）當(dāng)時，由，因，所以，①若，即時，在區(qū)間上，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在 上無最大值（或：當(dāng)時，），此時不滿足條件；②若，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，同樣 在上無最大值，不滿足條件 ；
（ⅲ）當(dāng)時，由，∵，∴，
∴，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立．
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是．
（Ⅲ）據(jù)（Ⅱ）知當(dāng)時，

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相關(guān)習(xí)題

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已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求在最小值；
（2）若存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍；
（3）求證：（）．

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已知函數(shù)，其中．
（1）若時，記存在使
成立，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若在上存在最大值和最小值，求的取值范圍．

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已知是的一個極值點.
（Ⅰ） 求的值；  
（Ⅱ） 求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè)，試問過點可作多少條直線與曲線相切？請說明理由.

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已知函數(shù)
(1)若求在處的切線方程;
(2)若在區(qū)間上恰有兩個零點,求的取值范圍.

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已知函數(shù).
（1）若函數(shù)的圖象在處的切線斜率為，求實數(shù)的值；
（2）在（1）的條件下，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分16分）如圖，某自來水公司要在公路兩側(cè)排水管，公路為東西方向，在路北側(cè)沿直線排，在路南側(cè)沿直線排，現(xiàn)要在矩形區(qū)域內(nèi)沿直線將與接通．已知，，公路兩側(cè)排管費用為每米1萬元，穿過公路的部分的排管費用為每米2萬元，設(shè)與所成的小于的角為．

（Ⅰ）求矩形區(qū)域內(nèi)的排管費用關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）求排管的最小費用及相應(yīng)的角．

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已知常數(shù)、、都是實數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的解集為．
（Ⅰ）若的極大值等于，求的極小值；
（Ⅱ）設(shè)不等式的解集為集合，當(dāng)時，函數(shù)只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍．

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已知函數(shù).
(I)若在處取得極值，
①求、的值；②存在，使得不等式成立，求的最小值；
(II)當(dāng)時，若在上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍.（參考數(shù)據(jù)）

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