【題目】設(shè)函數(shù)，.

(1)當(dāng)(為自然對數(shù)的底數(shù))時，求曲線在點處的切線方程；

(2)討論函數(shù)的零點的個數(shù)；

(3)若對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

【答案】(I) ；(II)見解析；（III）。

【解析】試題分析：（1）當(dāng)時，，，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出的極小值；（2）由，得，令，則，，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)零點的個數(shù)；（3）當(dāng)時，在上恒成立，由此能求出的取值范圍.

試題解析：(1)當(dāng)時，，所以， ，切點坐標(biāo)為所以曲線在點處的切線方程為.

(2)因為函數(shù)令，得，設(shè)所以，當(dāng)時，，此時在上為增函數(shù)；當(dāng)時，，此時在上為減函數(shù)，所以當(dāng)時，取極大值，

令，即，解得或，由函數(shù)的圖像知：

當(dāng)時，函數(shù)和函數(shù)無交點；

當(dāng)時，函數(shù)和函數(shù)有且僅有一個交點；

當(dāng)時，函數(shù)和函數(shù)有兩個交點；

④當(dāng)時，函數(shù)和函數(shù)有且僅有一個交點。

綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)無零點；

當(dāng)或時，函數(shù)有且僅有一個零點

當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點

（3）對任意恒成立，等價于恒成立，設(shè)則在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，所以在上恒成立，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，，

所以實數(shù)的取值范圍.

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(1) 如圖①,已知村莊與原來鋪設(shè)有電纜，現(xiàn)先從處修建最短水下電纜到達對岸后后，再修建地下電纜接入原電纜供電，試求該方案總施工費用的最小值；

(2) 如圖②，點在線段上，且鋪設(shè)電纜的線路為.若，試用表示出總施工費用（萬元）的解析式，并求的最小值.

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A.30°
B.60°
C.90°
D.120°

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