【題目】設(shè)函數(shù),.

(1)當(dāng)(為自然對數(shù)的底數(shù))時,求曲線在點處的切線方程;

(2)討論函數(shù)的零點的個數(shù);

(3)若對任意,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

【答案】(I) ;(II)見解析;(III)。

【解析】試題分析:(1)當(dāng)時,,,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出的極小值;(2)由,得,令,則,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)零點的個數(shù);(3)當(dāng)時,上恒成立,由此能求出的取值范圍.

試題解析:(1)當(dāng)時,,所以, ,切點坐標為所以曲線在點處的切線方程為.

(2)因為函數(shù),得,設(shè)所以,當(dāng)時,,此時上為增函數(shù);當(dāng)時,,此時上為減函數(shù),所以當(dāng)時,取極大值,

,即,解得,由函數(shù)的圖像知:

當(dāng)時,函數(shù)和函數(shù)無交點;

當(dāng)時,函數(shù)和函數(shù)有且僅有一個交點;

當(dāng)時,函數(shù)和函數(shù)有兩個交點;

④當(dāng)時,函數(shù)和函數(shù)有且僅有一個交點。

綜上所述,當(dāng)時,函數(shù)無零點;

當(dāng)時,函數(shù)有且僅有一個零點

當(dāng)時,函數(shù)有兩個零點

(3)對任意恒成立,等價于恒成立,設(shè)上單調(diào)遞減,所以上恒成立,所以上恒成立,因為,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時,,

所以實數(shù)的取值范圍.

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