(2006湖南,18)如下圖,已知兩個正四棱錐PABCDQABCD的高分別為12AB=4

(1)證明:PQ⊥平面ABCD;

(2)求異面直線AQPB所成的角;

(3)求點P到平面QAD的距離.

答案:略
解析:

解析:(1)連結AC、BD,設ACBD=O,因為PABCDQABCD都是正四棱錐,所以PO⊥平面ABCD,QO⊥平面ABCD,從而P、OQ三點在一條直線上,所以PQ⊥平面ABCD

(2)由題設知,ABCD是正方形,所以ACBD

(1)知,PQ⊥平面ABCD,故可分別以直線CA、DB、QPx軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(如圖),由題設條件,相關各點的坐標分別是P(0,01),,Q(00,-2),

所以,

于是

從而異面直線AQPB所成的角是

(3)(2)知,點D的坐標是,,

n=(x,y,z)是平面QAD的一個法向量,由

x=1,得

所以點P到平面QAD的距離


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