Question

已知雙曲線的焦點與橢圓的焦點重合,且該橢圓的長軸長為,是橢圓上的的動點.

（1）求橢圓標準方程；

（2）設(shè)動點滿足：，直線與的斜率之積為，求證：存在定點，

使得為定值，并求出的坐標；

（3）若在第一象限，且點關(guān)于原點對稱，點在軸的射影為，連接 并延長交橢圓于

點，求證：以為直徑的圓經(jīng)過點.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）存在;（3）證明過程詳見試題解析.

【解析】

試題分析：（1）由雙曲線的焦點與橢圓的焦點重合求出橢圓中的，再由，求出所求橢圓方程為；（2）先設(shè)，由,結(jié)合橢圓的標準方程可以得到使得為定值；（3）要證明以為直徑的圓經(jīng)過點，就是證明,詳見解析.

試題解析：（1）解：由題設(shè)可知：雙曲線的焦點為，

所以橢圓中的

又由橢圓的長軸為4得

故

故橢圓的標準方程為：

（2）證明：設(shè)，由可得：

由直線與的斜率之積為可得：

，即

由①②可得：…6分

M、N是橢圓上，故

故，即

由橢圓定義可知存在兩個定點，使得動點P到兩定點距離和為定值;

（3）證明：設(shè)

由題設(shè)可知

由題設(shè)可知斜率存在且滿足.……③

將③代入④可得：…⑤

點在橢圓，故

所以

因此以為直徑的圓經(jīng)過點.

考點：直線與圓錐曲線.