Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，證明函數(shù)是增函數(shù)；

（2）是否存在實數(shù)，使得只有唯一的正數(shù)，當(dāng)時恒有：，若這樣的實數(shù)存在，試求、的值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）存在實數(shù)，只有唯一值滿足題意.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明出，可得出，從而證明出函數(shù)是增函數(shù)；

（2）取得出，由可得出，構(gòu)造函數(shù)，由得出，然后分和兩種情況討論，結(jié)合結(jié)合已知條件得出和的值.

（1），.

令，則，

因此，函數(shù)為增函數(shù)，，

故，因此，函數(shù)是增函數(shù)；

（2）取，可知.

.

令，，

由于.

①當(dāng)時，

時，，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，

時，，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，

，

令，因此存在唯一的正數(shù)，使得，

故只能.

，，

時，，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，

時，，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，

，此時只有唯一值.

②當(dāng)時，，則函數(shù)為增函數(shù)，

，解得，故.

（i）給定時，滿足的不唯一；

（ii）時，滿足的只能.

但時滿足且，因此時，值也不唯一.

綜上，存在實數(shù)，只有唯一值，當(dāng)時，恒有：.