已知函數(shù)

(I)當時，討論函數(shù)的單調(diào)性：

(Ⅱ)若函數(shù)的圖像上存在不同兩點，，設線段的中點為，使得在點處的切線與直線平行或重合，則說函數(shù)是“中值平衡函數(shù)”，切線叫做函數(shù)的“中值平衡切線”.

試判斷函數(shù)是否是“中值平衡函數(shù)”？若是，判斷函數(shù)的“中值平衡切線”的條數(shù)；若不是，說明理由.

 

【答案】

(I) 當時,函數(shù)的遞增區(qū)間是,遞減區(qū)間是

當時，函數(shù)的遞增區(qū)間是和，遞減區(qū)間是

(Ⅱ) 函數(shù)不是“中值平衡函數(shù)”

【解析】

試題分析：（1）

當即時，，函數(shù)在定義域上是增函數(shù)；

當即時,由得到或，

所以：當時，函數(shù)的遞增區(qū)間是和，遞減區(qū)間是；

當即時，由得到：，

所以:當時,函數(shù)的遞增區(qū)間是,遞減區(qū)間是；       

（2）若函數(shù)是“中值平衡函數(shù)”，則存在（）使得

即，

即，（*）

當時，（*）對任意的都成立，所以函數(shù)是“中值平衡函數(shù)”，且函數(shù)的“中值平衡切線”有無數(shù)條；

當時，設，則方程在區(qū)間上有解，

記函數(shù)，則，

所以當時，，即方程在區(qū)間上無解，

即函數(shù)不是“中值平衡函數(shù)”.

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．

點評：此題考查學生會利用導函數(shù)的正負求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，靈活運用中點坐標公式化簡求值，掌握反證法進行命題證明的方法，是一道綜合題，屬難題．

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本題滿分15分）已知函數(shù).

(I)討論在上的奇偶性；

(II)當時，求函數(shù)在閉區(qū)間[-1,]上的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源：2013-2014學年四川成都外國語學校高三12月月考理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù).

(I)當時,求的單調(diào)區(qū)間

(Ⅱ)若不等式有解,求實數(shù)m的取值菹圍；

(Ⅲ)定義：對于函數(shù)和在其公共定義域內(nèi)的任意實數(shù)，稱的值為兩函數(shù)在處的差值。證明:當時,函數(shù)和在其公共定義域內(nèi)的所有差值都大干2。

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2015屆吉林省高一下學期期中考試數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)

(I)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;

(II)當時,求函數(shù)的最大值及相應的值.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011年河北省高一上學期期中考試數(shù)學 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知函數(shù).

(I)當時，若方程有一根大于1，一根小于1，求的取值范圍；

(II)當時,在時取得最大值,求實數(shù)的取值范圍.

 

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