【題目】在圓x2+y2=9上任取一點P,過點P作y軸的垂線段PD,D為垂足,當P為圓與y軸交點時,P與D重合,動點M滿足 =2 ;
(1)求點M的軌跡C的方程;
(2)拋物線C′的頂點在坐標原點,并以曲線C在y軸正半軸上的頂點為焦點,直線y=x+3與拋物線C′交于A、B兩點,求線段AB的長.

【答案】
(1)

解:設M(x,y),由PD⊥y軸于點D,可設P(x0,y),D(0,y)

=2 得(x,0)=2(x0﹣x,0),

∴x=2(x0﹣x),即x0= x

∵動點P在圓x2+y2=9上

=9,即 =1

∴動點M的軌跡C的方程為 =1


(2)

解:曲線C在y軸正半軸上的頂點為(0,3),由已知可設拋物線方程為x2=2py(p>0)

∵焦點坐標為(0,3),∴ =3,即p=6

∴拋物線C′的方程為x2=12y

直線y=x+3與拋物線C′交于A,B兩點,A(x1,y1),B(x2,y2),

方程聯(lián)立:y2﹣18y+9=0

∵直線y=x+3經(jīng)過拋物線焦點F(0,3),

∴|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+p=18+6=24


【解析】(1)利用代入法,求點M的軌跡C的方程;(2)求出拋物線C′的方程,方程聯(lián)立,利用拋物線的定義,即可求線段AB的長.
【考點精析】關于本題考查的橢圓的標準方程,需要了解橢圓標準方程焦點在x軸:,焦點在y軸:才能得出正確答案.

練習冊系列答案
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