Question

（本小題滿分14分）
設(shè)函數(shù)（）．
（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；
（2）若，將的最小值記為，求的表達(dá)式；
（3）當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有且僅有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）由已知有：

，……………………………2分
∵
∴
∴當(dāng)時(shí)，………………………………………………4分
（2）由于，∴ ，
∴ 當(dāng) 時(shí)，則時(shí)，；
當(dāng) 時(shí)，則時(shí)，；
當(dāng) 時(shí)，則當(dāng)時(shí)，；
綜上， .                ……………………………8分
（3）當(dāng) 時(shí)，，
方程 即，
即方程在區(qū)間有且僅有一個(gè)實(shí)根，……………………………9分
令 ，則有：
解法一、①若
 
∴ ………………………………………………………………10分
②   或  
綜上所述，當(dāng)時(shí)，方程在區(qū)間有且僅有一個(gè)實(shí)根．……14分
解法二、由零點(diǎn)存在定理得
①， ，
∴； …………………………………………………………………10分
②當(dāng)時(shí)，
，此時(shí)，符合題意；
③當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)，符合題意；
綜上，當(dāng)時(shí)，方程在區(qū)間有且僅有一個(gè)實(shí)根．……14分

略