通常用a、b、c分別表示△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的邊長(zhǎng),R表示△ABC的外接圓半徑.
(1)如圖,在以O(shè)為圓心、直徑為8的⊙O中,BC和BA是⊙O的弦,其中BC=4,∠ABC=45°,求弦AB的長(zhǎng);
(2)在△ABC中,若∠C是鈍角,求證:a2+b2<4R2
分析:(1)利用正弦定理求出A,通過(guò)兩角和的正弦函數(shù),求出C,然后求弦AB的長(zhǎng);
(2)法一;利用余弦定理推出a2+b2<c2,利用正弦定理推出a2+b2<4R2
法二:利用正弦定理求出A,通過(guò)余弦定理求出C,然后證明a2+b2<4R2
解答:解 (1)△ABC的外接圓半徑為4,在△ABC中,
sinA=
BC
2R
=
4
8
=
1
2
,∴A=30°(A=150°不合題意)(3分)
∴sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB)=
1
2
×
2
2
+
3
2
×
2
2

=
6
+
2
4
(5分)
∴AB=2RsinC=8×
6
+
2
4
=2(
6
+
2)
(6分)
(2)證明:法1:由余弦定理得cosC=
a2+b2-c2
2ab
,∵C為鈍角∴cosC<0,∴a2+b2<c2(9分)
又由正弦定理得c=2RsinC<2R,∴c2<4R2,∴a2+b2<4R2(12分)
法2:∵sinA=
a
2R
,sinB=
b
2R
,由于∠C是鈍角,∠A、∠B都是銳角,得cosA=
1
2R
4R2-a2
,cosB=
1
2R
4R2-b2
,(8分)
cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=
1
4R2
(ab-
4R2-a2
4R2-b2
)<0
,(10分)
∴a2b2<(4R2-a2)(4R2-b2),∴16R4-4R2(a2+b2)>0,即a2+b2<4R2.( 12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用,三角形的解法,考查計(jì)算能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:044

(2007上海春,20)通常用a、b、c分別表示△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、BC所對(duì)邊的邊長(zhǎng),R表示△ABC的外接圓半徑.

(1)如圖所示,在以O為圓心、半徑為2的⊙O中,BCBA是圓的弦,其中BC=2,∠ABC=45°,求弦AB的長(zhǎng);

(2)在△ABC中,若∠C是鈍角,求證:

(3)給定三個(gè)正實(shí)數(shù)a、b、R,其中ba.問(wèn):a、b、R滿(mǎn)足怎樣的關(guān)系時(shí),以a、b為邊長(zhǎng),R為外接圓半徑的△ABC不存在、存在一個(gè)或存在兩個(gè)(全等的三角形算作同一個(gè))?在△ABC存在的情況下,用ab、R表示c

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