如圖,已知橢圓的上、下頂點分別為,點在橢圓上,且異于點,直線與直線分別交于點

(Ⅰ)設(shè)直線的斜率分別為,求證:為定值;

(Ⅱ)求線段的長的最小值;

(Ⅲ)當點運動時,以為直徑的圓是否經(jīng)過某定點?請證明你的結(jié)論.

 

【答案】

(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ).

【解析】

試題分析:(Ⅰ)隨點運動而變化,故設(shè)點表示,進而化簡整體消去變量;(Ⅱ)點的位置由直線生成,所以可用兩直線方程解出交點坐標,求出,它必是的函數(shù),利用基本不等式求出最小值; (Ⅲ)利用的坐標求出圓的方程,方程必含有參數(shù),消去一個后,利用等式恒成立方法求出圓所過定點坐標.

試題解析:(Ⅰ),令,則由題設(shè)可知

∴直線的斜率,的斜率,又點在橢圓上,

所以,(),從而有.

(Ⅱ)由題設(shè)可以得到直線的方程為

直線的方程為,

,   由,

直線與直線的交點,直線與直線的交點.

  又,

等號當且僅當時取到,故線段長的最小值是.

(Ⅲ)設(shè)點是以為直徑的圓上的任意一點,則,故有

,又,所以以為直徑的圓的方程為

,令解得,

為直徑的圓是否經(jīng)過定點.

考點:直線的交點,圓的方程,圓過定點問題,基本不等式的應(yīng)用.

 

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(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)若不過點的動直線與橢圓相交于、兩點,且求證:直線過定點,并求出該定點的坐標

 

 

 

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