【題目】已知橢圓的離心率為，分別為橢圓的左，右焦點，直線過點與橢圓交于兩點，當直線的斜率為時，線段的長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點且與直線垂直的直線與橢圓交于兩點，求四邊形面積的最小值.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)離心率可求得之間關(guān)系；可知斜率為時，與上頂點重合，設(shè)，結(jié)合橢圓定義和可構(gòu)造方程求得，進而得到，從而求得，得到橢圓標準方程；

（2）當直線斜率不存在或斜率為時，易求得四邊形面積為；當直線斜率為時，假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式可求得；將換作可得到，進而得到四邊形面積，利用基本不等式可求得最小值，與對比后可得結(jié)果.

（1）由題意得：，，.

當直線斜率為時，與上頂點重合，，，

設(shè)，則，

，即，解得：，

，解得：，，

橢圓的方程為.

（2）由（1）知：.

當直線斜率不存在或斜率為時，四邊形面積為；

當直線斜率為時，

設(shè)直線的方程為：，，，

則直線的方程為：，

將直線代入橢圓的方程得：，

，

，

將換作可得：.

四邊形面積（當且僅當，即時取等號），

，四邊形面積最小值為.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，是正三角形，為線段的中點，點為底面內(nèi)的動點，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A.若時，平面平面

B.若時，直線與平面所成的角的正弦值為

C.若直線和異面時，點不可能為底面的中心

D.若平面平面，且點為底面的中心時，

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線，不與坐標軸垂直的直線與拋物線交于兩點，當且時，.

（1）求拋物線的標準方程；

（2）若過定點，點關(guān)于軸的對稱點為，證明：直線過定點，并求出定點坐標.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是邊長為2的等邊三角形且垂直于底， 是的中點。

（1）證明：直線平面；

（2）點在棱上，且直線與底面所成角為，求二面角的余弦值。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為比較甲、乙兩名高中學生的數(shù)學素養(yǎng)，對課程標準中規(guī)定的數(shù)學六大素養(yǎng)進行指標測驗（指標值滿分為100分，分值高者為優(yōu)），根據(jù)測驗情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標雷達圖，則下面敘述不正確的是（ ）

A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙B.乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學建模素養(yǎng)

C.甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙D.甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學運算最強

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中，，，側(cè)面為等邊三角形，側(cè)棱.

（1）求證：平面平面；

（2）求三棱錐外接球的體積.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在四棱錐中，是PB的中點，是等邊三角形，平面平面.

（1）求證：平面；

（2）求CP與平面所成角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某市為了改善居民的休閑娛樂活動場所，現(xiàn)有一塊矩形草坪如下圖所示，已知：米，米，擬在這塊草坪內(nèi)鋪設(shè)三條小路、和，要求點是的中點，點在邊上，點在邊時上，且.

（1）設(shè)，試求的周長關(guān)于的函數(shù)解析式，并求出此函數(shù)的定義域；

（2）經(jīng)核算，三條路每米鋪設(shè)費用均為元，試問如何設(shè)計才能使鋪路的總費用最低？并求出最低總費用.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若是的唯一極值點，求的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案