Question

（08年靜安區(qū)質(zhì)檢文）我們用部分自然數(shù)構(gòu)造如下的數(shù)表：用表示第行第個(gè)數(shù)（為正整數(shù)），使；每行中的其余各數(shù)分別等于其“肩膀”上的兩個(gè)數(shù)之和(第一、二行除外，如圖)，設(shè)第（為正整數(shù)）行中各數(shù)之和為.

(1)試寫(xiě)出，并推測(cè)和的關(guān)系(無(wú)需證明)；

(2)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(3)數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)（為正整數(shù)）恰好成等差數(shù)列？若存在，求出的關(guān)系；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

解析：(1)；(或)；

事實(shí)上，

 

即；                           

(2)由(1) ，                                          

所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，

∴，即

(注：若考慮，且不討論，扣1分)             

 

(3)若數(shù)列中存在不同的三項(xiàng)恰好成等差數(shù)列，不妨設(shè)，

顯然，是遞增數(shù)列，則                

即，于是 

由且知，，

∴等式的左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，不成立，故數(shù)列中不存在不同的三項(xiàng)恰好成等差數(shù)列.