過正三棱錐S-ABC側(cè)棱SB與底面中心O作截面SBO,已知截面是等腰三角形,則側(cè)面和底面所成角的余弦值為( )
A.
B.
C.
D.
【答案】分析:如圖,延長BO交AC于D,則D為AC中點,∠SDC為側(cè)面和底面所成角的平面角.截面△SBD分SD=BD,SB=BD 兩種情況求解.
解答:解:延長BO交AC于D,則D為AC中點.截面為△SBD.
由正棱錐的性質(zhì),SO⊥面ABC,SD⊥AC,BD⊥AC,∠SDC為側(cè)面和底面所成角的平面角.設(shè)底面邊長BC=2.易知SB≠SD.
(1)若SD=BD,則SC=BC,正三棱錐S-ABC為正四面體.BD==,在△SDB中,由余弦定理得cos∠SDC===
(2)若SB=BD=,在RT△SDA中,SD=,在△SDB中,由余弦定理得cos∠SDC===
故選C.
點評:本題考查了正棱錐的性質(zhì),面面角的計算.考查空間想象能力、計算、推理論證能力.
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A.                                   B.

C.                         D.

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