【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|ex﹣a|+| ﹣1|,其中a,x∈R,e是自然對數(shù)的底數(shù),e=2.71828…
(1)當(dāng)a=0時,解不等式f(x)<2;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(3)設(shè)a≥ ,討論關(guān)于x的方程f(f(x))= 的解的個數(shù).
【答案】
(1)解:當(dāng)a=0時,不等式f(x)<2,即: ,
即 ,因此
得 ,所以 ,
所以原不等式的解集為 .
(2)解:①當(dāng)a≤0時,
因為x>0時, ,x<0時, ,
故f(x)在區(qū)間(﹣∞,0)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增;…(5分)
②當(dāng)0<a<1時, ,
仿①得f(x)在(﹣∞,lna)和(lna,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
即f(x)在區(qū)間(﹣∞,0)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增;(6分)
③當(dāng)a=1時,
易得f(x)在區(qū)間(﹣∞,0)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增; …(7分)
④當(dāng)a>1時,
同理得f(x)在區(qū)間(﹣∞,lna)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(lna,+∞)上單調(diào)遞增.…(8分)
綜上所述,
當(dāng)a≤1時,f(x)在區(qū)間(﹣∞,0)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增;
當(dāng)a>1時,f(x)在區(qū)間(﹣∞,lna)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(lna,+∞)上單調(diào)遞增.…(10分)
(3)解:由(2)知:當(dāng) 時,因為 ,
又x→+∞時, ,
所以f(x)的值域為 ,且 (等號僅當(dāng) 時。
令 ,
當(dāng) 時, ,所以 不成立,原方程無解;
當(dāng) 時,由 得 ,因為 ,所以 ,
所以 有兩個不相等的實數(shù)根,故原方程有兩個不同的實數(shù)解.
綜上所述,當(dāng) 時,原方程無解;當(dāng) 時,原方程有兩個不同的實數(shù)解.
【解析】(1)將a=0代入不等式,得到關(guān)于x的不等式組,解出即可;(2)通過討論a的范圍,求出f(x)的分段函數(shù),從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(3)先求出函數(shù)的值域,結(jié)合換元法以及a的范圍,求出方程的解即可.
【考點精析】掌握絕對值不等式的解法是解答本題的根本,需要知道含絕對值不等式的解法:定義法、平方法、同解變形法,其同解定理有;規(guī)律:關(guān)鍵是去掉絕對值的符號.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列{an}中,a1=1,a3=﹣3.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若數(shù)列{an}的前k項和Sk=﹣35,求k的值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), 為實常數(shù).
(Ⅰ)設(shè),當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)時,直線、與函數(shù)、的圖象一共有四個不同的交點,且以此四點為頂點的四邊形恰為平行四邊形.
求證: .
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗原料1千克、原料2千克;生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗原料2千克, 原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元,每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中,要求每天消耗原料都不超過12千克.通過合理安排生產(chǎn)計劃,從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中,公司共可獲得的最大利潤是__________元.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“微信運動”已成為當(dāng)下熱門的健身方式,小王的微信朋友圈內(nèi)也有大量好友參與了“微信運動”,他隨機選取了其中的40人(男、女各20人),記錄了他們某一天的走路步數(shù),并將數(shù)據(jù)整理如下:
(1)若采用樣本估計總體的方式,試估計小王的所有微信好友中每日走路步數(shù)超過5000步的概率;
(2)已知某人一天的走路步數(shù)超過8000步被系統(tǒng)評定“積極型”,否則為“懈怠型”,根據(jù)題意完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此判斷能否有95%以上的把握認為“評定類型”與“性別”有關(guān)?
附: ,
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,圓C:x2+y2﹣8y+12=0,直線l:ax+y+2a=0.
(1)當(dāng)a為何值時,直線l與圓C相切;
(2)當(dāng)直線l與圓C相交于A、B兩點,且AB=2 時,求直線l的方程.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的焦點在軸上,橢圓的左頂點為,斜率為的直線交橢圓于, 兩點,點在橢圓上, ,直線交軸于點.
(Ⅰ)當(dāng)點為橢圓的上頂點, 的面積為時,求橢圓的離心率;
(Ⅱ)當(dāng), 時,求的取值范圍.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com