已知拋物線y2=2px(p>0),焦點(diǎn)為F,一直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn),且|AF|+|BF|=8,且AB的垂直平分線恒過定點(diǎn)S(6,0)
①求拋物線方程;
②求△ABS面積的最大值.
分析:①利用點(diǎn)差法,確定AB中點(diǎn)M的坐標(biāo),分類討論,根據(jù)AB的垂直平分線恒過定點(diǎn)S(6,0),即可求拋物線方程;
②分類討論,求出△ABS面積的表達(dá)式,即可求得其最大值.
解答:解:①設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點(diǎn)M(x0,y0
當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)斜率為k,則由|AF|+|BF|=8得x1+x2+p=8,∴x0=4-
p
2

y
2
1
=2px1
y
2
2
=2px2
y
2
1
-
y
2
2
=2p(x1-x2)
,∴y0=
p
k

所以M(4-
p
2
,
p
k
)

依題意
p
k
4-
p
2
-6
•k=-1
,∴p=4
∴拋物線方程為y2=8x----(6分)
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),2p=8,也滿足上式,∴拋物線方程為y2=8x
②當(dāng)直線的斜率存在時(shí),由M(2,y0)及kl=
4
y0
lAB:y-y0=
4
y0
(x-2)

令y=0,得xK=2-
1
4
y
2
0

又由y2=8x和lAB:y-y0=
4
y0
(x-2)
得:y2-2y0y+2
y
2
0
-16=0

S△ABS=
2
8
(16+y02)2(32-2y02)
2
8
(
64
3
)3
=
64
6
9
----(12分)
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),AB的方程為x=2,|AB|=8,△ABS面積為
1
2
×8×4=16

64
6
9
>16
,∴△ABS面積的最大值為
64
6
9
點(diǎn)評(píng):本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查三角形面積的計(jì)算,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.
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已知拋物線y2=2px(p>0).過動(dòng)點(diǎn)M(a,0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B,|AB|≤2p.
(1)求a的取值范圍;
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(2)過點(diǎn)F作一直線與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),并在準(zhǔn)線l上任取一點(diǎn)M,當(dāng)M不在x軸上時(shí),證明:
kMA+kMBkMF
是一個(gè)定值,并求出這個(gè)值.(其中kMA,kMB,kMF分別表示直線MA,MB,MF的斜率)

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已知拋物線y2=2px(p>0).過動(dòng)點(diǎn)M(a,0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B,|AB|≤2p.求a的取值范圍.

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(2009•聊城一模)已知拋物線y2=2px(p>0),過點(diǎn)M(2p,0)的直線與拋物線相交于A,B,
OA
OB
=
0
0

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已知拋物線y2=2px(p>0),M(2p,0),A、B是拋物線上的兩點(diǎn).求證:直線AB經(jīng)過點(diǎn)M的充要條件是OA⊥OB,其中O是坐標(biāo)原點(diǎn).

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