【題目】已知向量 =(sinx,1), =( Acosx, cos2x)(A>0),函數(shù)f(x)= 的最大值為6.
(1)求A;
(2)將函數(shù)y=f(x)的圖象像左平移 個單位,再將所得圖象各點的橫坐標縮短為原來的 倍,縱坐標不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象.求g(x)在[0, ]上的值域.

【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)=

=

=A(

=Asin(2x+ ).

因為A>0,由題意可知A=6.


(2)解:由(1)f(x)=6sin(2x+ ).

將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移 個單位后得到,

y=6sin[2(x+ )+ ]=6sin(2x+ ).的圖象.再將所得圖象各點的橫坐標縮短為原來的 倍,

縱坐標不變,得到函數(shù)y=6sin(4x+ )的圖象.因此g(x)=6sin(4x+ ).

因為x∈[0, ],所以4x+ ,4x+ = 時取得最大值6,4x+ = 時函數(shù)取得最小值﹣3.

故g(x)在[0, ]上的值域為[﹣3,6].


【解析】(1)利用向量的數(shù)量積展開,通過二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)化為,一個角的一個三角函數(shù)的形式,通過最大值求A;(2)通過將函數(shù)y=f(x)的圖象像左平移 個單位,再將所得圖象各點的橫坐標縮短為原來的 倍,縱坐標不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象.求出g(x)的表達式,通過x∈[0, ]求出函數(shù)的值域.
【考點精析】關于本題考查的函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換和三角函數(shù)的最值,需要了解圖象上所有點向左(右)平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象;再將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長(縮短)到原來的倍(縱坐標不變),得到函數(shù)的圖象;再將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標伸長(縮短)到原來的倍(橫坐標不變),得到函數(shù)的圖象;函數(shù),當時,取得最小值為;當時,取得最大值為,則,才能得出正確答案.

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