已知數(shù)列a,b,c為各項都是正數(shù)的等差數(shù)列,公差為d(d>0),在a,b之間和b,c之間共插入m個實數(shù)后,所得到的m+3個數(shù)所組成的數(shù)列{an}是等比數(shù)列,其公比為q

(1)若a=1,m=1,求公差d;

(2)若在a,b之間和b,c之間所插入數(shù)的個數(shù)均為奇數(shù),求所插入的m數(shù)的乘積(用a,c,m表示)

(3)求證:q是無理數(shù).

 

【答案】

解:(1)由a=1,且等差數(shù)列a,b,c的公差為d,可知b=1+dc=1+2d,

①若插入的數(shù)在a,b之間,則1+dq2,1+2dq3,消去q可得(1+2d)2=(1+d)3d

②若插入的數(shù)在b,c之間,則1+dq,1+2dq3,消去q可得1+2d=(1+d)3,此方程無正根.

故所求公差d

(2)設在a,b之間插入l個數(shù),在b,c之間插入t個數(shù),則ltm,

【由等比中項得:】

在等比數(shù)列{an}中,∵a1a, al+2b, am+3c,akam+4-ka1am+3ac(k=2,3,···,m+2),

∴(a2a3am+2)2=(a2am+2)·(a3am+1)···(am+2a2)=(ac)m+1

又∵ql+1>0,qt+1>0,l,t都為奇數(shù),∴q可以為正數(shù),也可以為負數(shù).

①  若q為正數(shù),則a2a3am+2=(ac),所插入m個數(shù)的積為;

②若q為負數(shù),a2,a3,…,am+2中共有+1個負數(shù),

當是奇數(shù),即m=4k-2(kN*)時,所插入m個數(shù)的積為;

當是偶數(shù),即m=4k(kN*)時,所插入m個數(shù)的積為

綜上所述,當m=4k-2(kN*)時,所插入m個數(shù)的積為;

m=4k(kN*)時,所插入m個數(shù)的積為

注:可先將a2,a3,…,am+2aq表示,然后再利用條件消去q進行求解.

(3)∵在等比數(shù)列{an},由ql+1,可得ql+1-1=,同理可得qm+2-1=

qm+2-1=2(ql+1-1),即2ql+1-1=qm+2 (ml),

反證法:假設q是有理數(shù),

①若q為整數(shù),∵a,b,c是正數(shù),且d>0,∴|q|>1,在2ql+1qm+2q(2qlqm+1)=1中,∵2ql+1qm+2q的倍數(shù),故1也是q的倍數(shù),矛盾.

②若q不是整數(shù),可設q(其中x,y為互素的整數(shù),x>1),

則有()m+2=2()l+1-1,即ym+2xml+1(2yl+1xl+1),∵ml,可得ml+1≥1,

ym+2x的倍數(shù),即yx的倍數(shù),矛盾

q是無理數(shù).

【解析】略

 

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