Question

已知函數(shù)f（x）=px--2lnx。
（1）若p=2，求曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線；
（2）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)p的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)，若在[1，e]上至少存在一點(diǎn)x₀，使得f（x₀）>g（x₀）成立，求實(shí)數(shù)p的取值范圍。

Answer 1

解：（1）當(dāng)p=2時(shí)，函數(shù)
f（1）=2-2-2ln1=0，f'（x）=
曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率為f'（1）=2+2-2=2
從而曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-0=2（x-1），
即y=2x-2。
（2）
令h（x）=px²-2x+p，要使f（x）在定義域（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，
只需h（x）≥0在（0，+∞）內(nèi)恒成立，
由題意p>0，h（x）=px²-2x+p的圖象為開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱軸方程為
∴
只需
即p≥1時(shí)，h（x）≥0，f'（x）≥0，
∴f（x）在（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，正實(shí)數(shù)p的取值范圍是[1，+∞）。
（3）∵在[1，e]上是減函數(shù)，
∴x=e時(shí)，g（x）_min=2
x=1時(shí)，g（x）_max=2e，
即g（x）∈[2，2e]
①當(dāng)p＜0時(shí)，h（x）=px²-2x+p其圖象為開(kāi)口向下的拋物線，對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)，
且h（0）＜0，
所以f（x）在x∈ [1，e]內(nèi)是減函數(shù)，
當(dāng)p=0時(shí)，h（x）=-2x
因?yàn)閤∈[1，e]，
所以h（x）＜0，
此時(shí)，f（x）在x∈[1，e]內(nèi)是減函數(shù)，
故當(dāng)p≤0時(shí)，f（x）在x∈[1，e]上單調(diào)遞減=f（1）=0＜2，不合題意；
②當(dāng)0＜p＜1時(shí)，x∈[1，e]
所以f（x）=
又由（2）知當(dāng)p=1時(shí)f（x）在 x∈[1，e]上是增函數(shù)，
∴
不合題意；
③當(dāng)p≥1時(shí)，由（2）知f（x）在x∈[1，e]上是增函數(shù)
f（1）= 0＜2
又g（x）在x∈[1，e]上是減函數(shù)，
故只需f（x）_max>g（x）_min，x∈[1，e]，
而
g（x）_min=2，即
解得
所以實(shí)數(shù)p的取值范圍是。